Ensino Fundamental ⇒ Equação Quadrática Tópico resolvido

[LaraD]

Se [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\theta [/tex3] são raízes da equação quadrática em x [tex3]a_ ox²+a_1x+a_2=0[/tex3].Calcular: [tex3]\frac{a_o(\alpha ^{n} + \theta ^{n})+a_1(\alpha ^{n-1} + \theta ^{n-1})}{(\alpha ^{n-2} + \theta ^{n-2})}[/tex3],n [tex3]\in [/tex3] [tex3]\mathbb{N}[/tex3], n[tex3]\geq [/tex3]2.
a)-[tex3]a_o [/tex3]
b)-[tex3]a_1[/tex3]
c)-[tex3]a_ 2[/tex3]
d) 0
e)-1

Resposta

---

c

[petrasMOD]

@LaraD,
e [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\theta[/tex3] são raízes da equação [tex3]a_0x^2 + a_1x + a_2 = 0[/tex3], então elas satisfazem a igualdade:
[tex3]a_0\alpha^2 + a_1\alpha + a_2 = 0 \\a_0\theta^2 + a_1\theta + a_2 = 0[/tex3]
Vamos multiplicar as equações acima por potências de x:
Multiplicando a equação de[tex3] \alpha [/tex3]por [tex3]\alpha^{n-2}:a_0\alpha^n + a_1\alpha^{n-1} + a_2\alpha^{n-2} = 0[/tex3]
Multiplicando a equação de [tex3]\theta[/tex3] por [tex3]\theta^{n-2}:a_0\theta^n + a_1\theta^{n-1} + a_2\theta^{n-2} = 0[/tex3]
Agora, somamos as duas expressões resultantes:
[tex3](a_0\alpha^n + a_0\theta^n) + (a_1\alpha^{n-1} + a_1\theta^{n-1}) + (a_2\alpha^{n-2} + a_2\theta^{n-2}) = 0\\
a_0(\alpha^n + \theta^n) + a_1(\alpha^{n-1} + \theta^{n-1}) + a_2(\alpha^{n-2} + \theta^{n-2}) = 0(I)[/tex3]
[tex3]E = \frac{a_0(\alpha^n + \theta^n) + a_1(\alpha^{n-1} + \theta^{n-1})}{\alpha^{n-2} + \theta^{n-2}}[/tex3]
Da equação (I), temos:[tex3]a_0(\alpha^n + \theta^n) + a_1(\alpha^{n-1} + \theta^{n-1}) = -a_2(\alpha^{n-2} + \theta^{n-2})[/tex3]
Substituindo isso no numerador da expressão [tex3]E:\\
E = \frac{-a_2(\alpha^{n-2} + \theta^{n-2})}{\alpha^{n-2} + \theta^{n-2}}[/tex3]
Cancelando os termos comuns [tex3](\alpha^{n-2} + \theta^{n-2}):\boxed{E = -a_2}[/tex3]