Olimpíadas ⇒ (USA) Trigonometria Tópico resolvido

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Qual a soma de todas as raízes da equação

[tex3]\frac{cos^3(x)+cos^3(3x)+cos^3(9x)}{cos(x)+cos(3x)+cos(9x)}=1[/tex3], com x no primeiro quadrante?

Resposta

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[tex3]\frac{81\pi }{26}[/tex3]

[Ittalo25MOD]

[tex3]cos^3(x)+cos^3(3x)+cos^3(9x)=cos(x)+cos(3x)+cos(9x)[/tex3]
[tex3]cos(x)\cdot (cos^2(x)-1)+cos(3x)\cdot (cos^2(3x)-1)+cos(9x)\cdot (cos^2(9x)-1) = 0[/tex3]
[tex3]cos(x)sen^2(x)+cos(3x)sen^2(3x)+cos(9x)sen^2(9x) = 0[/tex3]
[tex3]sen(2x)sen(x)+sen(6x)sen(3x)+sen(18x)sen(9x) = 0[/tex3]
[tex3]2sen(2x)sen(x)+2sen(6x)sen(3x)+2sen(18x)sen(9x) = 0[/tex3]
[tex3]cos(x)-cos(3x)+cos(3x)-cos(9x)+cos(9x)-cos(27x) = 0[/tex3]
[tex3]cos(27x)-cos(x)=0[/tex3]
[tex3]-2\cdot sen\left(\frac{27x+x}{2}\right)\cdot sen\left(\frac{27x-x}{2}\right)=0[/tex3]
[tex3]sen(14x)\cdot sen(13x) = 0[/tex3]

[tex3]x = \frac{n \cdot \pi }{14}[/tex3], com [tex3]1 \leq n \leq 6[/tex3]
também:
[tex3]x = \frac{k \cdot \pi }{13}[/tex3], com [tex3]1 \leq k \leq 6[/tex3]

Portanto a soma das soluções:
[tex3]\frac{(1+2+3+4+5+6)\cdot \pi}{13}+\frac{(1+2+3+4+5+6)\cdot \pi}{14} = \boxed{\frac{81\pi}{26}}[/tex3]