Ensino Superior ⇒ Integração racional por somas parciais Tópico resolvido

[gabibibi]

Olá! Preciso de ajuda com um exercício de integrais de uma função racional, usando o método de soma parcial. A função seria essa:

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^{2}-3x-7}{(2x+3)(x+1)^{2}}dx[/tex3]

Não tenho o gabarito da questão.
Muito obrigada desde já.

[rcompany]

[tex3]\text{Sabemos que existem }a,b,c\in\mathbb{R}\text{ tais que }f(x)=\dfrac{a}{2x+3}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2-3x-7}{(2x+3)(x+1)^2}\quad\quad (1)\\[24pt]
\begin{array}{rl}(1)&\Longleftrightarrow a(x+1)^2+b(2x+3)(x+1)+c(2x+3)=x^2-3x-7\\[12pt]
&\Longleftrightarrow (a+2b)x^2+(2a+5b+2c)x+(a+3b+3c)=x^2-3x-7\\[12pt]
&\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a+2b=1\\2a+5b+2c=-3\\a+3b+3c=-7\end{array}\right.\\[12pt]
&\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-1\\b=1\\c=-3\end{array}\right.
\end{array}[/tex3]

[tex3]\text{E então:}\\[12pt]
\begin{array}{rl}
\displaystyle\int f(x)\textrm{d}x&=\displaystyle\int \left(\dfrac{-1}{2x+3}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{-3}{(x+1)^2}\right)\textrm{d}x\\[12pt]
&=-\displaystyle\int \dfrac{1}{2x+3}\textrm{d}x+\displaystyle\int\dfrac{1}{x+1}\textrm{d}x-\displaystyle\int\dfrac{3}{(x+1)^2}\textrm{d}x\\[12pt]
&=-\dfrac{1}{2}\ln(2x+3)+\ln(x+1)+\dfrac{3}{x+1}+C\quad\quad,\ C\text{ constante}\in\mathbb{R}
\end{array}
[/tex3]