Ensino Médio ⇒ (FB) Substituições trigonométricas Tópico resolvido

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Se x e y são números reais que satisfazem a equação

[tex3](x+\sqrt{x^2+3})(y+\sqrt{y^2+3})=3[/tex3],

então o valor de x+y vale:

a) 1/2
b) 1
c) 0
d) 3/2
e) 1/4

Resposta

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C.
Eu fiz a substituição
[tex3]tg(\alpha )=\frac{\sqrt{3}}{x}[/tex3] e [tex3]tg(\beta )=\frac{\sqrt{3}}{y}[/tex3]
E a identidade tg²(x) + 1 = 1/cos²(x)
Daí desenvolvendo, cheguei na seguinte expressão:
(cos(alpha)+1)(cos(beta)+1)=sen(alpha)sen(beta)
Mas isso tem umas soluções meio estranhas, pelo o que eu vi no Wolfram. Não sei qual outra substituição seria mais adequada.

[undefinied3]

[tex3]x+\sqrt{x^2+3}=\sqrt{y^2+3}-y[/tex3] (basta multiplicar os dois lados pelo o que ta do lado direito).
Analogamente
[tex3]y+\sqrt{y^2+3}=\sqrt{x^2+3}-x[/tex3]

Soma os dois
[tex3]x+y=-x-y \rightarrow x+y=0[/tex3]