Ensino Médio ⇒ Teorema das bissetrizes

[nat19]

Na figura, sabemos que AP é bissetriz interna e AQ é bissetriz externa. Determine CQ, sendo BP= 8 cm e CP= 6 cm.

Resposta

---

42 cm

[Daleth]

Pelo teorema da bissetriz externa:

[tex3]\frac{AB}{BQ}=\frac{AC}{CQ}[/tex3]

Sendo que:
[tex3]BQ=BP+CP+CQ[/tex3]
[tex3]BQ=8+6+CQ[/tex3]
[tex3]BQ=14+CQ[/tex3]
Então:

[tex3]\frac{AB}{14+CQ}=\frac{AC}{CQ}[/tex3]
[tex3]\frac{CQ}{14+CQ}=\frac{AC}{AB}[/tex3]
Nessa última parte eu apenas troquei de lugar AB e CQ.

Agora precisamos achar um valor equivalente para [tex3]\frac{AC}{AB}[/tex3], para isso usaremos o teorema da bissetriz interna:

[tex3]\frac{AB}{BP}=\frac{AC}{CP}[/tex3]
[tex3]\frac{AB}{8}=\frac{AC}{6}[/tex3]
Trocando de lugar AB e 6, temos:

[tex3]\frac{6}{8}=\frac{AC}{AB}[/tex3]

Agora substituindo:

[tex3]\frac{CQ}{14+CQ}=\frac{AC}{AB}[/tex3]
[tex3]\frac{CQ}{14+CQ}=\frac{6}{8}[/tex3]
[tex3]8CQ=6.(14+CQ)[/tex3]
[tex3]8CQ=84+6CQ[/tex3]
[tex3]2CQ=84[/tex3]
[tex3]CQ=42cm[/tex3]

-----------------------------------------------------------------

Qualquer dúvida é só falar