Ensino Superior ⇒ Algebra Linear - Auto valores , Auto vetores , bases e multiplicidade

[Israfel]

1)Seja A [tex3]\in [/tex3] [tex3]M_{3} \left(\mathbb{R}\right)[/tex3] com autoespacos

E [tex3]\left(\lambda_{1}\right)[/tex3] = 16) = {[tex3]\left(x,y,z\right)[/tex3] [tex3]\in [/tex3] [tex3]\mathbb{R}^{3}[/tex3] ;27x - y - 43z = 0}
E [tex3]\left(\lambda_{2}\right)[/tex3] = 20) = {[tex3]\left(x,y,z\right)[/tex3] [tex3]\in [/tex3] [tex3]\mathbb{R}^{3}[/tex3] ;x - 23y + 17z =0 e 8x - 183y +139z}

a)Determine as bases dos autoespacos e as multiplicidades geometricas dos autovalores de A.
Estou com algumas duvidas nas respostas

Resposta

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COMO O AUTOR ENCONTROU A DIMENSAO E A MULTIPLICIDADE ?
Pela definicao de E [tex3]\left(\lambda_{1}\right)[/tex3] = 16 , geometricamente, E [tex3]\left(\lambda_{1}\right)[/tex3] = 16 e um plano pela origem,cuja dimensao e 2.Assim a multiplicidade geometrica de ([tex3]\lambda_{1}[/tex3] = 16) e 2.

Pela definicao de E [tex3]\left(\lambda_{2}\right)[/tex3] = 20 , geometricamente, E [tex3]\left(\lambda_{2}\right)[/tex3] = 20 e a intersecao de dois planos concorrentes (vetores normais linearmente independentes) que passam pela origem, portanto e uma reta pela origem, cuja dimensao e 1.Assim, a multiplicidade geometrica e ([tex3]\lambda_{2}[/tex3] = 20) tem 1 vetor nao nulo
BASE
([tex3]\lambda_{1}[/tex3] = 16) = {[tex3]\left(x,y,z\right)[/tex3] [tex3]\in \mathbb{\mathbb{R}^{3}}[/tex3] ; 27x - y - 43z = 0}
([tex3]\lambda_{1}[/tex3] = 16) = {[tex3]\left(x,y,z\right)[/tex3] [tex3]\in \mathbb{\mathbb{R}^{3}}[/tex3] ; y = 27x - 43z = 0}
([tex3]\lambda_{1}[/tex3] = 16) = {[tex3]\left(x,y,27x - 43z \right)[/tex3] ; [tex3]x,z \in \mathbb{\mathbb{R}}[/tex3]}
AQUI EU NAO ENTENDI. COMO CHEGOU NESSE RESULTADO ?
([tex3]\lambda_{1}[/tex3] = 16) = {[tex3]\left(x,y,27x - 43z \right)[/tex3] ; [tex3]x,z \in \mathbb{\mathbb{R}}[/tex3]}
([tex3]\lambda_{1}[/tex3] = 16) = {[tex3]\left(x,27,0\right) + \left(0,43z,z\right)[/tex3] ; [tex3]x,z \in \mathbb{\mathbb{R}}[/tex3]}
([tex3]\lambda_{1}[/tex3] = 16) = {[tex3]x \left (1,27,0\right) + z \left(0,-43,1\right)[/tex3] ; [tex3]x,z \in \mathbb{\mathbb{R}}[/tex3]}

Assim [tex3]\beta_{}^{1}[/tex3] = {[tex3]\left(1,27,0\right)[/tex3],[tex3]\left(0,-43,1\right)[/tex3]} e uma base de ([tex3]\lambda_{1}[/tex3] = 16)

E [tex3]\left(\lambda_{2}\right)[/tex3] = 20)
Resolvendo o sistema Linear Homogeneo : {x - 23y + 17z =0 ; 8x - 183y +139z}
([tex3]\lambda_{2}[/tex3] = 20) = {[tex3]\left(x,y,z\right)[/tex3] [tex3]\in \mathbb{\mathbb{R}^{3}}[/tex3] ; x-23+17z = 0 e 8x-183y+139z=0}
([tex3]\lambda_{2}[/tex3] = 20) = {[tex3]\left(x,y,z\right)[/tex3] [tex3]\in \mathbb{\mathbb{R}^{3}}[/tex3] ;x = -86z e y=-3z
([tex3]\lambda_{2}[/tex3] = 20) = {[tex3]\left(-86z,-3z,z\right) Z \in \mathbb{R}[/tex3]}
([tex3]\lambda_{2}[/tex3] = 20) = {[tex3]z \left(-86,-3,1\right) Z \in \mathbb{R}[/tex3]}

Assim [tex3]\beta_{}^{2}[/tex3]= {[tex3]\left(-83,-3,1 \right)[/tex3], e uma base de ([tex3]\lambda_{2}[/tex3] = 20) com multiplicidade 1