Ensino Superior ⇒ Questões de Geometria analítica

[mecmanut88]

Alguém poderia me ajudar nessas questões?

Determine uma base para o espaço vetorial S e sua dimensão:
S = {(x, y, z) Є R³: x - y + 2z = 0}

[deOliveira]

[tex3]S=\{(x,y,z)\in\mathbb r^3:x-y+2z=0\}[/tex3]

Seja [tex3]v=(x,y,z)\in S[/tex3]. Então, temos que:

[tex3]x-y+2z=0\\\implies y=x+2z\\\implies v=(x,y,z)=(x,x+2z,z)=(x,x,0)+(0,2z,z)=x(1,1,0)+z(0,2,1)\\
\implies v\in[(1,1,0),(0,2,1)][/tex3]

Como [tex3]v\in S[/tex3] foi escolhido de forma arbitrária, temos que [tex3]S\subset[(1,1,0),(0,2,1)][/tex3].

Por outro lado, temos que
[tex3]1-1+2*0=0\implies (1,1,0)\in S\\
0-2+2*1=0\implies (0,2,1)\in S\\
\implies \{(1,1,0),(0,2,1)\}\subset S\\
\implies [(1,1,0),(0,2,1)]\subset S[/tex3]

Portanto, [tex3]S=[(1,1,0),(0,2,1)][/tex3].

Com isso, temos que [tex3]\{(1,1,0),(0,2,1)\}[/tex3] é conjunto gerador de [tex3]S[/tex3]. Para provar que ele também é base, basta verificar que é LI.

Sejam [tex3]a,b\in\mathbb R[/tex3] tais que [tex3]a(1,1,0)+b(0,2,1)=(0,0,0).[/tex3]

[tex3]a(1,1,0)+b(0,2,1)=(0,0,0)\\
(a,a+2b,b)=(0,0,0)\\\implies \begin{cases}a=0\\a+2b=0\\b=0\end{cases}\\
\implies a=b=0 [/tex3]

Daí, [tex3]\{(1,1,0),(0,2,1)\}[/tex3] é LI e portanto base de [tex3]S[/tex3]. Logo, temos que [tex3]\dim S=2[/tex3].

Espero ter ajudado.

[mecmanut88]

Muito Obrigado pela ajuda.