Cap. 10 - Puntos Notables ⇒ Solucionário:Racso - Cap X - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:22 Tópico resolvido

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Problema Proposto
22 - No triángulo acutângulo ABC se traçam as alturas AM, BN e CL .
Pelo ortocentro H se traça HD[tex3] \perp[/tex3] MN e por C se traça CE [tex3]\perp [/tex3]MN.
Se CE - HD = 7 e[tex3] \measuredangle[/tex3] MLN = 90º, calcular MN.

Resposta

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D) 7

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Ortocentro H de △ABC é incentro do △LMN, portanto △LMN é o triângulo órtico de △ABC.(propriedade do triângulo órtico)
Prolongar NM e baixar uma perpendicular de B até P (P em MN)
△DMH≅△PBM (L-A-L)
portanto PM=HD
*△CEN≅△NPB (L-A-L)
portanto CE=PN=MN+PM=MN+HD
⟹[tex3]\boxed{\color{red}MN=CE−HD=7}[/tex3]

*Quadrilátero CBLN é cíclico
i) ∠CBN=∠CLN=45∘ portanto ∠C=45∘
ii) ∠AMN=∠ABN=90∘−∠A [tex3]\rightarrow [/tex3] ∠CMN=∠A=∠BMP
MH=BM como △BMH é triÂngulo retângulo com ∠CBN=45∘
△DMH≅△PBM
Do mesmo modo △CEN e △NPB$,
∠CNE=∠PBN=∠B e CN=BN [tex3]\rightarrow [/tex3] △CEN≅△NPB