Ensino Superior ⇒ Vetores em Hexágono Regular Tópico resolvido

[mandycorrea]

Seja [tex3]A_1A_2A_3A_4A_5A_6[/tex3] um hexagono regular de centro O.

Expresse [tex3]A_1A_i[/tex3], [tex3]i=2,...,6[/tex3], em função de [tex3]\vec{a}= A_1A_2[/tex3] e [tex3]\vec{b}=A_1A_6[/tex3].

Resposta

---

[tex3]A_1A_3=\vec{b}+2\vec{a}[/tex3]
[tex3]A_1A_4 =2\vec{b}+2\vec{a}[/tex3]
[tex3]A_1A_5=\vec{a}+2\vec{b}[/tex3]

[rcompany]

[tex3]

\text{Notemos primeiro que }\overrightarrow{A_1A_2}=-\overrightarrow{A_4A_5}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{A_3A_4}=-\overrightarrow{A_6A_1}=\overrightarrow{b}\text{ e }\overrightarrow{A_2A_3}=-\overrightarrow{A_5A_6}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\\[24pt]
\overrightarrow{A_1A_3}=\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\\
\overrightarrow{A_1A_4}=\overrightarrow{A_1A_3}+\overrightarrow{A_3A_4}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\\
\overrightarrow{A_1A_5}=\overrightarrow{A_1A_4}+\overrightarrow{A_4A_5}=2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}



[/tex3]

[mandycorrea]

Olá,rcompany. Como você descobriu isso?

[tex3]
\overrightarrow{A_2A_3}=-\overrightarrow{A_5A_6}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}[/tex3]

[rcompany]

Para mostrar que [tex3]\overrightarrow{A_2A_3}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}[/tex3], podemos usar a geometria analítica usando um sistema de coordenadas. O mais apropriado aqui é um sistema de coordenadas polar de centro [tex3]A5, [/tex3] eixo [tex3][A_5;A_4)[/tex3] e unidade [tex3]|A_5A_4|[/tex3] já que todas as coordenadas dos pontos e vectores são determinadas a partir dos ângulos internos do hexágono regular (todos os ângulos formados por três vértices consecutivas valem [tex3]\frac{2\pi}{3}[/tex3]) e das medidas das arestas (aqui todas iguais).

Temos:

[tex3]
A_5=\rho(0,0)=(0;0)\\
A_4=\rho(1,0)=(1;0)\\
A_3=\rho(\sqrt{3},\frac{\pi}{6})=(\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6};\sqrt{3}\sin\frac{\pi}{6})=(\frac{3}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})\\
A_2=\rho(2,\frac{\pi}{3})=(1;\sqrt{3})\\
A_1=\rho(\sqrt{3},\frac{\pi}{2})=(0;\sqrt{3})\\
A_6=\rho(1,\frac{2\pi}{3})=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})\\

\text{e então:}\\ \overrightarrow{A_2A_3}=\overrightarrow{(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}}),\ \overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{(1;0)}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{A_1A_6}=\overrightarrow{(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})}=\overrightarrow{b}\\
\text{portanto:}\\
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})}=\overrightarrow{A_2A_3}=-\overrightarrow{A_5A_6}\\[36pt]
[/tex3]

Ou pode usar O como polo e [tex3][O,A_3)[/tex3] como eixo polar:

[tex3]
A_3=\rho(1,0)=(1;0)\\
A_2=\rho(1,\frac{\pi}{3})=(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})\\
A_1=\rho(1,\frac{2\pi}{3})=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})\\
A_6=\rho(1,\pi)=(-1;0)\\
A_5=\rho(1,\frac{4\pi}{3})=(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})\\
A_4=\rho(1,\frac{5\pi}{3})=(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})\\

\text{e então:}\\ \overrightarrow{A_2A_3}=\overrightarrow{(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}}),\ \overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{(1;0)}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{A_1A_6}=\overrightarrow{(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})}=\overrightarrow{b}\\
\text{portanto:}\\
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})}=\overrightarrow{A_2A_3}=-\overrightarrow{A_5A_6}\\[12pt]
\text{Alias pode fazer isso para todos os }\overrightarrow{A_iA_{i+1}}\text{ e assim estabelecer as igualdades necessárias.}\\[12pt]
\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{A_2A_3}=\overrightarrow{(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b};\overrightarrow{A_3A_4}=\overrightarrow{(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})}=\overrightarrow{b};\overrightarrow{A_4A_5}=\overrightarrow{(-1;0)}=-\overrightarrow{a};\\\overrightarrow{A_5A_6}=\overrightarrow{(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b};\overrightarrow{A_6A_1}=\overrightarrow{b}
\\[36pt]
[/tex3]
Ou usando a geometria plana:

hexagono regular: as medidas das arestas são iguais, os ângulos internos são iguais e valem [tex3]\frac{2\pi}{3}[/tex3], as bissetrizes são diagonais e se cruzam com as medianas num mesmo ponto O, que é também o centro dos círculos inscritos e circunscritos. Mostra-se que:
[tex3]\overrightarrow{A_6O}=\overrightarrow{OA_3}=\overrightarrow{a}\\[12pt]
\text{portanto}\\
\begin{aligned}
\overrightarrow{A_2A_3}&=\overrightarrow{A_2A_1}+\overrightarrow{A_1A_6}+\overrightarrow{A_6O}+\overrightarrow{OA_3}\\
&=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
\end{aligned}
[/tex3]

[mandycorrea]

rcompany, obrigada pelas respostas!