IME / ITA ⇒ (Simulado-Ime/Ita) Equação

[AngelitaB]

Dada a equação x³-15x²+kx-125=0 tal cs=(x1;x2;x3)C [tex3]\mathbb{R}^{+}[/tex3]; Calcule o valor x1+x2²+x3³.
a)155
b)160
c)145
d)125
e)135

Resposta

---

a

[rcompany]

[tex3]

P(x)=x^3-15x^2+kx-125\\[24pt]

P(x)\text{ polinômio de grau 3}\implies P(x)=0\text{ admite }\left\{\begin{array}{l}\text{uma solução em }\mathbb{R}\text{ e duas em }\mathbb{C}\backslash\mathbb{R}\\\text{ou}\\
\text{três soluçoes em }\mathbb{R}\end{array}\right.\\
\text{Vamos supor que existem três raízes positivas distintas reais }x_1,x_2,x_3\text{ tais que }0 < x_1 < x_2 < x_3\\
P(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\implies \left\{\begin{array}{l}x > x_3\implies P(x) > 0\\ x_2 < x < x_3\implies P(x) < 0 \\x_1 < x < x_2 \implies P(x) > 0\\x < x_1\implies P(x) < 0 \\\end{array}\right.\\[24pt]

\text{e como }P(x)\text{ é contínuo em }\mathbb{R}\text{, existem }r'_0\in]x_1;x_2[\text{ tal que }P(x'_0) > 0 \text{ e }P(x'_0)\text{ máximo de }P(x) \text{ em }]x_1;x_2[\\\text{e }r'_1\in]x_2;x_3[\text{ tal que }P(x'_1)<0 \text{ e }P(x'_1)\text{ mínimo de }P(x) \text{ em }]x_2;x_3[\text{( ou senão teríamos limites infinitos em }x_2,\\\text{ incompatíveis com a continuidade de }P(x))\\
P'(x)=3x^2-30x+k=0 \text{ admite }r'_1,r'_2\text{ como raízes distintas, e então }900-12k>0,\text{ ou seja }k<75 \\
\text{e }x'_1=5-5\sqrt{1-\dfrac{k}{75}}\text{ e }x'_2=5+5\sqrt{1-\dfrac{k}{75}}\\[24pt]

P''(5)=0\implies x'_2=x_2\implies P(x_3)>0 \text{ já que }P\text{ estritamente crescente em }[x'_2;x_3]\text{ e }P(x'_2)\!=\!P(x_2)\!=0\\
\text{e portanto }P(x)=0 \text{ não pode admitir três raízes reais positivas.}\\[24pt]
\text{Supondo que }P(x)=0 \text{ admite uma única raiz real, temos:}\\
\forall x \in\mathbb{R},x^3-15x^2+kx=(x-x_1)^3=x^3-3x_1x^2+3x_1^2x-125\iff\left\{\begin{array}{l}3x_1=15\\3x_1^2=k\end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{l}x_1=5\\k=75\end{array}\right.\\
\text{e portanto }x_1+x_1^2+x_3^3=5+25+125=155
[/tex3]