Ensino Superior ⇒ Produto Escalar Vetorial

[lAlterado]

Pessoal, alguém tem alguma referência ou demonstração do produto escalar vetorial feito através da fórmula que multiplica a norma do vetor v1, a norma do vetor v2 e o o cosseno do ângulo formado entre os vetores?
Gostaria de entender exatamente a parte do cosseno do ângulo, porque que ele é usado especificamente. Tentei encontrar demonstrações mas sem sucesso.

[rcompany]

Não sei se é isso que está procurando, mas vamos là:


[tex3]

\text{Definição do produto escalar de dois vectores, (notado }\vec{u}\cdot\vec{v}\text{ ou }\langle\vec{u},\vec{v}\rangle\text{):}\\
\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\times||\vec{v}||\times\cos\widehat{\vec{u},\vec{v}}\\[24pt]
\text{Num sistema de coordenadas cartesianas temos:}\\[6pt]
\vec{u}=(||\vec{u}||\cos\phi_\vec{u};||\vec{u}||\sin\phi_\vec{u})=(x_\vec{u},y_\vec{u})\text{ e }\vec{v}=(||\vec{v}||\cos\phi_\vec{v};||\vec{v}||\sin\phi_\vec{v})=(x_\vec{v},y_\vec{v})\\[6pt]
\text{Notemos }\theta=\widehat{\vec{u},\vec{v}}. \text{ Temos }\theta=\phi_\vec{v}-\phi_\vec{u}\\[12pt]
\begin{aligned}\vec{u}\cdot\vec{v}&=||\vec{u}||\times||\vec{v}||\times\cos\theta=||\vec{u}||\times||\vec{v}||\times\cos(\theta+\phi_\vec{u}-\phi_\vec{u})=||\vec{u}||\times||\vec{v}||\times\cos(\phi_\vec{v}-\phi_\vec{u})\\[6pt]
&=||\vec{u}||\times||\vec{v}||(\cos\phi_\vec{u}\cos\phi_\vec{v}+\sin\phi_\vec{u}\sin\phi_\vec{v})\\[6pt]
&=(||\vec{u}||\cos\phi_\vec{u})(||\vec{v}||\cos\phi_\vec{v})+(||\vec{u}||\sin\phi_\vec{u})(||\vec{v}||\sin\phi_\vec{v})\\[6pt]
&=x_\vec{u}x_\vec{v}+y_\vec{u}y_\vec{v}
\end{aligned}
[/tex3]