Cap. 10 - Puntos Notables ⇒ Solucionário:Racso - Cap X - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:28 Tópico resolvido

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Problema Proposto
28 -Em um triângulo ABC, traça-se a altura AH(*corrigido: original seria BH), e [tex3]HM \perp AB~e~HN \perp AC[/tex3].
Calcular MN, se o perímetro do triângulo pedal do triângulo ABC é 24m.

Resposta

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A) 12m

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quadrilátero AMNH é inscritivel.
AH é diametro do círculo passando por AMNH.
Aplicando lei dos senos no triângulo AMN: [tex3]sen\angle A=\frac{MN}{2R}=\frac{MN}{AH}\therefore \boxed{MN = AH.sen\angle A}(I) [/tex3]
Triangulo pedal a partir do ortocentro P de ABC.
[tex3]24 = ED+DH+HE=AP.sen A + BP.sen B + CP.sen C\\
AP =2R.cos A\rightarrow AP.senA = 2R.cosA.senA = R.sen(2A)[/tex3]
e é análogo para os outros vértices:
[tex3]\therefore 24 = R[sen(2A) +sen(2B) +sen(2C)]\implies \boxed{R = \frac{24}{sen(2A) +sen(2B) +sen(2C)}}(III) \\
AH = c .sen B(II)
\\(II)em(I):MN = {\color{red}c} .\sen A .\sen B .(\frac{\sen C}{{\color{red}sen C}}) = 2\underbrace{R}_{=\frac{c}{senC}} .\sen A. \sen B .\ sen C\\
\therefore MN = \frac{48 \sen A \sen B \sen C}{\sen (2A) + \sen (2B) + \sen(2C)}\\
\text{aplicando relações trigonométricas* e substituindo C=180-(A+B)}\implies \boxed{\color{red}MN =\frac{48}{4}=12}
[/tex3]

*
com a Relação de Prostaférese (viewtopic.php?t=8785) da soma de senos:
[tex3]\sen (2A) + \sen (2B) + \sen (2C) = \sen (2A) + 2\sen (B+C) \cos (B-C)\\
= 2\sen (A) \cos (A) + 2\sen (A) \cos (B-C) = 2\sen (A)(\cos (A) + \cos (B-C)) \\
[/tex3]

com a Relação de Prostaférese(viewtopic.php?t=8785) da soma de cossenos:
[tex3]cos A + cos (B-C) = 2 \cos (\frac{A+B-C}2) \cos (\frac{A+C-B}2) = 2 \cos (90^{\circ} - C) \cos (90^{\circ} - B) = 2 \sen (B) \sen (C) [/tex3]

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[tex3]\boxed{\sen (2A) + \sen (2B) + \sen (2C) = 4 \sen (A) \sen (B) \sen (C)}[/tex3]
(Complemento: FelipeMartin)

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Uma demonstração do "poder da geometria". De uma resolução trabalhosa anterior(e bem realizada) por trigonometria temos uma resolução limpa e sintética.
Refletindo H por AB e AC teremos J e I.

AH e CD são bissetrizes de ∠DHE e ∠EDH
J,D,E e I são collineares
MN é base média do triângulo HGF em relação a JI
JI=JD+DE+EI=DH+DE+EH=24
Portanto [tex3]\boxed{\color{red}MN=\frac{JI}{2}=12}[/tex3]
(Solução:Aqua)