Física I ⇒ Gravitação - Leis de Kepler Tópico resolvido

[alma3de5]

Com aproximadamente 320 vezes a massa da Terra, Júpiter é o maior planeta do Sistema Solar, sendo orbitado por 79 satélites, descobertos até agora. Dentre eles, o que apresenta maior semelhança com nosso satélite natural, a Lua, é Io, conforme mostra a tabela a seguir.

gravitação - lua e io.png (30.64 KiB) Exibido 1233 vezes

Considerando que o período de translação da Lua seja de 27 dias e que os raios orbitais sejam iguais, o período de translação de Io em torno de Júpiter é, aproximadamente,

a) 12 h
b) 24 h
c) 36 h
d) 48 h
e) 72 h

Resposta

---

c) 36 h

Tentei dessa forma:

[tex3]\frac{27^{2}}{(3,8*10^{5})^{3}}=\frac{T^{2}}{(4,2 * 10^{5})^{3}} \rightarrow T =31[/tex3]

mas passa longe do resultado

[eivitordias]

Boa noite, @alma3de5.

ml --> massa da lua
Mt --> massa da Terra
mlo --> massa de lo
Mj --> massa de Júpiter --> Mj = 320Mt

Para lua orbitando a Terra:

[tex3]Frc = Fg[/tex3]
[tex3]\frac{ml.Vl^2}{Rl}=\frac{G.Mt.ml}{Rl^2}[/tex3]
[tex3]Mt=\frac{Vl^2.Rl}{G}[/tex3]

Para lo orbitando Júpiter:

[tex3]Frc = Fg[/tex3]
[tex3]\frac{mlo.Vlo^2}{Rlo}=\frac{G.(320Mt).mlo}{Rlo^2}[/tex3]
[tex3]Vlo^2=\frac{320Mt.G}{Rlo}[/tex3]
[tex3]\frac{Vlo^2.Rlo}{G}=320(Mt)[/tex3]
[tex3]\frac{Vlo^2.Rlo}{G}=320(\frac{Vl^2.Rl}{G})[/tex3]
[tex3]Vlo^2.Rlo=320(Vl^2.Rl)[/tex3]
[tex3](Vlo^2)=\frac{320.Rl.(Vl^2)}{Rlo}[/tex3]
[tex3](\frac{2\pi Rlo}{Tlo})^2=\frac{320.Rl}{Rlo}.(\frac{2\pi Rl}{Tl})^2[/tex3]
[tex3]Tlo^2=\frac{Rlo^3.Tl^2}{320.Rl^3}[/tex3]
[tex3]Tlo^2=\frac{(4,2.10^5)^3.(27)^2}{320.(3,8.10^5)^3}[/tex3]
[tex3]Tlo≈\sqrt{3}≈1,7dia[/tex3]

Ou seja, [tex3]24h< Tlo < 48h[/tex3]

[alma3de5]

Mil obrigadas, @eivitordias !!!