Pré-Vestibular ⇒ (UFPE - 2000) Geometria Plana: Área do Círculo e suas Partes

[rean]

Na figura abaixo, a circunferência maior tem raio [tex3]5,[/tex3] o arco [tex3]ACB,[/tex3] de uma circunferência de raio [tex3]5,[/tex3] mede [tex3]90^\circ .[/tex3] A circunferência menor é tangente à maior e ao ao arco [tex3]ACB[/tex3] no seu ponto médio. Qual a área da região colorida?

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[agp16]

Olá rean,

Analisando o desenho:

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Calculando a área da circuferencia Maior ([tex3]S_{cM}[/tex3])
[tex3]S_{cM}=R^2.\pi[/tex3],onde [tex3]R=5[/tex3]
[tex3]S_{cM}=5^2.\pi[/tex3]
[tex3]S_{cM}=25.\pi[/tex3]

Calculando a área da circuferencia menor ([tex3]S_{cm}[/tex3])
[tex3]S_{cm}=r^2.\pi[/tex3],onde [tex3]r=5.\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]S_{cm}=(5.\frac{\sqrt{2}}{2})^2.\pi[/tex3]
[tex3]S_{cm}=\frac{25}{2}.\pi[/tex3]

Calculando a área do setor circular([tex3]S_{sc}[/tex3])
[tex3]S_{sc}=\frac{R^2.\pi.\alpha}{360}[/tex3],onde [tex3]R=5[/tex3] e [tex3]\alpha=90[/tex3]
[tex3]S_{sc}=\frac{5^2.\pi.90}{360}[/tex3]
[tex3]S_{sc}=\frac{25.\pi}{4}[/tex3]

Calculando a área do triângulo AOB([tex3]S_{t}[/tex3])
[tex3]S_{t}=\frac{b.h}{2}[/tex3],onde [tex3]b=h=5[/tex3]
[tex3]S_{t}=\frac{5.5}{2}[/tex3]
[tex3]S_{t}=\frac{25}{2}[/tex3]

Calculando a área do segmento circular([tex3]S_{c}[/tex3])
[tex3]S_{c}=S_{sc}-S_{t}[/tex3]
[tex3]S_{c}=\frac{25.\pi}{4}-\frac{25}{2}[/tex3]
[tex3]S_{c}=\frac{25.\pi-50}{4}[/tex3]

Calculando a área hachurada([tex3]S_{h}[/tex3])
[tex3]S_{h}=S_{cM}-[S_{cm}+2.(S_{c})][/tex3]
[tex3]S_{h}=25.\pi-[\frac{25}{2}.\pi+2.(\frac{25.\pi-50}{4})][/tex3]
[tex3]S_{h}=25.\pi-[\frac{25}{2}.\pi+\frac{25.\pi-50}{2}][/tex3]
[tex3]S_{h}=25.\pi-[25\pi-25][/tex3]
[tex3]S_{h}=25.\pi-25\pi+25][/tex3]
[tex3]S_{h}=25[/tex3].