Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica - Reta tangente à circunferência

[HenryInfa]

Para que a reta de equação [tex3]y=\sqrt{3}.x+n[/tex3] seja tangente à circunferência de equação [tex3]x^{2}+y^{2}=4[/tex3] o valor de n deve ser

a) − 3 ou 3 .
b) – 2 ou 2.
c) – 3 ou 3.
d) – 4 ou 4.

Resposta

---

gab: d

[JBCosta]

Uma solução:

Na primeira equação y = x [tex3]\sqrt{3}[/tex3] + n, usando este valor de y na segunda equação vem:

x² + (x [tex3]\sqrt{3}[/tex3] + n)² = 4

[tex3]\rightarrow [/tex3] x² + 3x² +2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] xn + n² - 4 = 0

[tex3]\rightarrow [/tex3] 4x² - 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] xn + (n² - 4) = 0

Para que a reta e a circunferência sejam tangentes elas devem ter um único ponto em comum, portanto a equação quadrática em x acima deve ter apenas uma raiz, então seu discriminante deve ser igual a zero:

[tex3]\Delta [/tex3] = (2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] n)² - 4 . 4 . (n² - 4) = 0

[tex3]\rightarrow [/tex3] 12n² - 16n² + 64 = 0

[tex3]\rightarrow [/tex3] - 4n² + 64 = 0

[tex3]\rightarrow [/tex3] n² = 16 [tex3]\rightarrow [/tex3] n = 4 ou n = - 4


Valeu!?