IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1984) Inequação Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O conjunto solução da inequação: [tex3]x^{x^2} > x^{2x}[/tex3] com [tex3]x > 0[/tex3] e [tex3]x \neq 1[/tex3] é:

(A) [tex3]\{x \in \mathbb{R}|0 < x < 2\}[/tex3].
(B) [tex3]\{x \in \mathbb{R}|x > 2\}[/tex3].
(C) [tex3]\{x \in \mathbb{R}|1 < x < 2\}[/tex3].
(D) [tex3]\{x \in \mathbb{R}|0 < x < 1\}[/tex3].
(E) [tex3]\{x \in \mathbb{R}|0 < x < 1\text{ ou } x > 2\}[/tex3].

[John]

Como [tex3]x > 0[/tex3], podemos aplicar o logaritmo.

[tex3]x^{x^{2}} > x^{2x} \Rightarrow log(x^{x^2}) > log(x^{2x}) \Rightarrow x^2log(x) > 2xlog(x) \Rightarrow x(x - 2)log(x) > 0[/tex3].

Se [tex3]0 < x < 1[/tex3] então [tex3]x > 0[/tex3], [tex3]x-2 < 0[/tex3] e [tex3]log(x) < 0[/tex3]. Portanto, [tex3]x(x - 2)log(x) > 0[/tex3] se [tex3]0 < x < 1[/tex3].

Se [tex3]x = 1[/tex3] ou [tex3]x = 2[/tex3], então [tex3]x(x - 2)log(x) = 0[/tex3].

Se [tex3]1 < x < 2[/tex3], então [tex3]x > 0[/tex3], [tex3]x-2 < 0[/tex3] e [tex3]log(x) > 0[/tex3]. Portanto, [tex3]x(x - 2)log(x)< 0[/tex3] se [tex3]1 < x < 2[/tex3].

Se [tex3]x > 2[/tex3], então [tex3]x > 0[/tex3], [tex3]x-2 > 0[/tex3] e [tex3]log(x) > 0[/tex3]. Portanto, [tex3]x(x - 2)log(x)> 0[/tex3] se [tex3]x > 2[/tex3].

Solução: [tex3]\{ x \in R: \, 0 < x < 1 \, ou \, x > 2\}[/tex3].

Alternativa E.