Ensino Superior ⇒ Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) Tópico resolvido

[Augusto007]

Verifique se a função
y = [tex3]e^{x}[/tex3].[tex3]\int\limits_{0}^{x}e^{t^{2}}dt[/tex3] + c.[tex3]e^{x}[/tex3]
satisfaz a equação diferencial xy' = y + x.sen(x)

[AnthonyC]

Seja [tex3]I(x)=\int_0^x e^{t^2}dt[/tex3]. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
[tex3]\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)[/tex3]
, onde [tex3]F'(x)=f(x)[/tex3].
Logo:
[tex3]I(x)=E(x)-E(0)[/tex3], [tex3]E'(x)=e^{x^2}[/tex3]. Portanto:
[tex3]I'(x)=E'(x)=e^{x^2}[/tex3]
Assim, temos:
[tex3]xy'=x\cdot\[e^x\cdot I(x)+ce^x\]'[/tex3]
Pela Regra do Produto:
[tex3]xy'=x\cdot\[\(e^x\)'\cdot I(x)+e^x\cdot I'(x)+\(ce^x\)'\][/tex3]
[tex3]xy'=x\cdot\[e^x\cdot I(x)+e^x\cdot e^{x^2}+ce^x\][/tex3]
[tex3]xy'=x\cdot\[e^x\cdot I(x)+ce^x+ e^{x^2+x}\][/tex3]
[tex3]xy'=x\cdot\[y+ e^{x^2+x}\][/tex3]
Portanto, a função não satisfaz a EDO.

Obs: assumi [tex3]c[/tex3] como constante.

[Augusto007]

AnthonyC, Obrigado pela ajuda, c é constante mesmo.