Cálculo 1 - 2 (ajuda no exercício de uma lista)

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fandrade Offline: Mensagens: 6; Registrado em: 18 Out 2021, 10:16

Out 2021 18 10:30

Cálculo 1 - 2 (ajuda no exercício de uma lista)

Mensagempor fandrade » 18 Out 2021, 10:30

Mensagem por fandrade » 18 Out 2021, 10:30

Seja y = A(x) de modo que a equação diferencial

xy'' + y' + xy = 0

é satisfeita, para todos os valores de x e, além disso, A(0) = 1. Determine:

a) A'(0).
b) A''(0).

fandrade

rcompany Offline: Mensagens: 888; Registrado em: 25 Fev 2019, 14:07; Agradeceu: 32 vezes; Agradeceram: 561 vezes

Out 2021 18 15:27

Re: Cálculo 1 - 2 (ajuda no exercício de uma lista)

Mensagempor rcompany » 18 Out 2021, 15:27

Mensagem por rcompany » 18 Out 2021, 15:27

[tex3]

\forall x \in \mathbb{R}, xy''+y'+xy=0\implies 0y''(0)+y'(0)+0y(0)=0\implies y'(0)=0\\[24pt]
\forall x\neq0, y''+\frac{y'}{x}+y=0\\
\lim\limits_{x\to 0}y=1\\
\lim\limits_{x\to 0}y''=y''(0)\\
\lim\limits_{x\to 0}\frac{y'}{x}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{y'-y'(0)}{x-0}=y''(0)\\
\text{ e então temos }2y''(0)=-1\text{, ou seja }y''(0)=-\frac{1}{2}

[/tex3]

rcompany

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por fandrade » 18 Out 2021, 10:27 » em Ensino Superior

Primeira Postagem

fandrade

Dada a equação:

2(x² + y²)^2 = 25(x² − y²),

encontre os pontos em que a reta tangente é horizontal.

Últ. msg

rcompany

\begin{aligned} 2(x^2+y^2)^2=25(x^2-y^2)&\iff2x^4+2y^4+4x^2y^2-25x^2+25y^2=0\\&\iff 2y^4+(4x^2+25)y^2+(2x^4-25x^2)=0\\ &\iff \left\{\begin{array}{}y^2=\dfrac{-4x^2\!\!-\!\!25\!\!-\!\!\sqrt{(4x^2\!\!+\!\!25)^2\!\!-\!\!8(2x^4\!-\!25x^2)}}{4}=\df...
fandrade1rcompany1: 1 Resp.; 806 Exibições; Últ. msg por rcompany
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Cálculo 1 - 3 (ajuda no exercício de uma lista)

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por fandrade » 18 Out 2021, 10:33 » em Ensino Superior

Primeira Postagem

fandrade

Prove que os gráficos das funções f(x) = ln x e g(x) = 3 − 2x possuem uma
interseção em algum ponto do intervalo (1, 2).

Últ. msg

rcompany

[tex3] h(x)=f(x)-g(x)=\ln x+2x-3,\text{ definida para }1\leqslant x\leqslant2\\ h'(x)=\frac{1}{x}+2\implies h'\text{ estritamente positiva em }[1;2]\implies h\text{ estritamente crescente em }[1;2]\\ h([1;2])=[-1;1+\ln 2]\\ 0\in[-1;1+\ln 2]\implies \exists x_0\in[1;2]\text{ tal que }h(x_0)=0\text{ (teorema dos valores intermediários)}\\ \text{e já que }h\text{ é estritamente monótona esse }x_0\text{ é único.}\\ \text{ e finalmente }h(x_0)=0\iff f(x_0)=g(x_0) [/tex3]...
fandrade1rcompany1: 1 Resp.; 777 Exibições; Últ. msg por rcompany
18 Out 2021, 12:54

Cálculo 1 - 4 (ajuda no exercício de uma lista)

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Enviado em Ensino Superior
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por fandrade » 18 Out 2021, 10:35 » em Ensino Superior

Primeira Postagem

fandrade

Seja f : R → R uma função diferenciável tal que f(2) = 2 e f'(2) = 2.

a) Se A(x) = f(f(f(x))), calcule A'(2).
b) Determine a reta tangente ao gráfico de A(x) no ponto (2, 2).

Últ. msg

rcompany

[tex3] \text{Lembrando que para }u,v\text{ funções temos }(u(v(x)))'=u'(v(x))\cdot v'(x)\\[12pt] \begin{aligned} A'(x)=\left[f\left(f\left(f(x)\right)\right)\right]'=f'(f(f(x)))\cdot f'(f(x))\cdot f'(x)&\implies A'(2)=f'(f(f(2)))\cdot f'(f(2))\cdot f'(2)\\ &\implies A'(2)=f'(f(2))\cdot f'(2)\cdot f'(2)=\left[f'(2)\right]^3\\ &\implies A'(2)=2^3=8 \end{aligned}\\[36pt] \text{Reta tangente à curva de A em }(2,2):\\ \dfrac{y-2}{x-2}=A'(2)=8\iff y=8x-14 [/tex3]...
fandrade1rcompany1: 1 Resp.; 753 Exibições; Últ. msg por rcompany
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Cálculo 1 - 5 (ajuda no exercício de uma lista)

Últ. msg por AnthonyC « 19 Out 2021, 06:18
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por fandrade » 18 Out 2021, 10:37 » em Ensino Superior

Primeira Postagem

fandrade

Uma ilha está a 2 km ao norte de seu ponto mais próximo da praia (ao longo de uma linha costeira reta). Um visitante está hospedado em uma cabana na costa oeste a 6 km deste ponto. Supondo que esse turista corra a uma taxa de 8km/h e nade a uma taxa...

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Seja [tex3]t[/tex3] o tempo que o visitante demora para sair da cabana e ir até a ilha. Podemos dividir [tex3]t[/tex3] em dois intervalos:
[tex3]t=t_c+t_n[/tex3],
sendo [tex3]t_c[/tex3] o tempo que ele passou correndo e [tex3]t_n[/tex3] o tempo que...
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Cálculo 1 - 6 (ajuda no exercício de uma lista)

Últ. msg por rcompany « 18 Out 2021, 18:58
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por fandrade » 18 Out 2021, 10:38 » em Ensino Superior

Primeira Postagem

fandrade

Considere a função
f(x) = (x³) / (x − 2).
a) Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f(x) bem como os
pontos de máximo/mínimo de f(x) (se existirem).
b) Encontre os pontos de inflexão de f(x) e determine os intervalos em que
a função...

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rcompany

f(x)=\dfrac{x^3}{x-2}\\ \mathcal{D}_f=]-\infty;2[\cup]2;+\infty[\\[24pt] f'(x)=\dfrac{3x^2(x-2)-x^3}{(x-2)^2}=\dfrac{2x^2(x-3)}{(x-2)^2}\\ \text{e então :}\\ x<3\implies f'(x)<0\\ x>3\implies f'(x)>0\\ f'(3)=0\\[24pt] f''(x)=\dfr...
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