Ensino Superior ⇒ Cálculo 1 - 3 (ajuda no exercício de uma lista)

[fandrade]

Prove que os gráficos das funções f(x) = ln x e g(x) = 3 − 2x possuem uma
interseção em algum ponto do intervalo (1, 2).

[rcompany]

[tex3]
h(x)=f(x)-g(x)=\ln x+2x-3,\text{ definida para }1\leqslant x\leqslant2\\
h'(x)=\frac{1}{x}+2\implies h'\text{ estritamente positiva em }[1;2]\implies h\text{ estritamente crescente em }[1;2]\\
h([1;2])=[-1;1+\ln 2]\\
0\in[-1;1+\ln 2]\implies \exists x_0\in[1;2]\text{ tal que }h(x_0)=0\text{ (teorema dos valores intermediários)}\\
\text{e já que }h\text{ é estritamente monótona esse }x_0\text{ é único.}\\

\text{ e finalmente }h(x_0)=0\iff f(x_0)=g(x_0)


[/tex3]