Ensino Superior ⇒ Cálculo 1 - 4 (ajuda no exercício de uma lista)

[fandrade]

Seja f : R → R uma função diferenciável tal que f(2) = 2 e f'(2) = 2.

a) Se A(x) = f(f(f(x))), calcule A'(2).
b) Determine a reta tangente ao gráfico de A(x) no ponto (2, 2).

[rcompany]

[tex3]
\text{Lembrando que para }u,v\text{ funções temos }(u(v(x)))'=u'(v(x))\cdot v'(x)\\[12pt]
\begin{aligned}
A'(x)=\left[f\left(f\left(f(x)\right)\right)\right]'=f'(f(f(x)))\cdot f'(f(x))\cdot f'(x)&\implies A'(2)=f'(f(f(2)))\cdot f'(f(2))\cdot f'(2)\\
&\implies A'(2)=f'(f(2))\cdot f'(2)\cdot f'(2)=\left[f'(2)\right]^3\\
&\implies A'(2)=2^3=8
\end{aligned}\\[36pt]
\text{Reta tangente à curva de A em }(2,2):\\
\dfrac{y-2}{x-2}=A'(2)=8\iff y=8x-14

[/tex3]