Ensino Superior ⇒ Raio e Altura do Cilindro - Cálculo 2 Tópico resolvido

[magben]

Uma lata cilíndrica com tampa deve ser construída para conter óleo. A área total da lata é [tex3]2400\pi [/tex3] unidades de área. Determine o raio da base e a altura da lata para que o volume da lata seja máxima.

[AnthonyC]

Sabemos que a área de um cilindro pode ser encontrada somando a área lateral com a área das bases:
[tex3]A=A_l+2A_b[/tex3]
[tex3]2400\pi=2\pi rh+2\pi r^2[/tex3]
[tex3]2400\pi-2\pi r^2=2\pi rh[/tex3]
[tex3]1200- r^2=rh[/tex3]
Sabemos que o volume de um cilindro pode ser calculado por:
[tex3]V(r,h)=\pi r^2h[/tex3]
[tex3]V(r,h)=\pi r \cdot rh[/tex3]
[tex3]V(r)=\pi r (1200- r^2)[/tex3]
[tex3]V(r)=1200\pi r -\pi r^3[/tex3]
Derivando a equação:
[tex3]V'(r)=1200\pi -3\pi r^2[/tex3]
Sabemos que os os pontos de máximo de mínimo de uma função ocorrem quando a derivada é nula, logo:
[tex3]1200\pi-3\pi r^2=0[/tex3]
[tex3]1200\pi=3\pi r^2[/tex3]
[tex3]400= r^2[/tex3]
[tex3]r=20 [/tex3] u.a.
Portanto:
[tex3]1200- r^2=rh[/tex3]
[tex3]1200-400=20h[/tex3]
[tex3]h=4[/tex3] u.a.