Pré-Vestibular ⇒ (Ufam - 2017) Conceitos números complexos Tópico resolvido

[Albe]

Considere as afirmativas a seguir:

I. Se z= a + ib for raiz de um polinômio de grau
maior ou igual do que 2, então
y= b - ia também será raiz do polinômio.

II. Se [tex3]Z_{1}^{}[/tex3] e [tex3]Z_{2}^{}[/tex3]
são dois números complexos distintos,
então [[tex3]Z_{1}^{}[/tex3]. [tex3]Z_{2}^{}[/tex3]] [tex3]\leq [/tex3] [[tex3]Z_{1}^{}[/tex3]]. [[tex3]Z_{2}^{}[/tex3]]

III. Se [tex3]Z_{1}^{}[/tex3] e [tex3]Z_{2}^{}[/tex3]
são dois números complexos distintos, então [[tex3]Z_{1}^{} + Z_{2}^{}[/tex3]] [tex3]\leq [/tex3] [[tex3]Z_{1}^{}[/tex3]] + [[tex3]Z_{2}^{}[/tex3]]

IV. Se [tex3]Z_{1}^{}[/tex3] e [tex3]Z_{2}^{}[/tex3]
são dois números complexos distintos, então [tex3]\overline{Z_{1}^{} +Z_{2}^{}} = \overline{Z_{1}^{}} + \overline{Z_{2}^{}}[/tex3]

Podemos dizer que:

a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.

b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.

c) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.

d) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras.

e) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras.

Resposta

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E)
Por que a II está errada, e a III e a IV estão certas?

[Auto Excluído (ID: 23699)]

A II está certa, pois se X = Y, então X é maior ou igual a Y.
Mas ele considerou errada pois |Z.W| = |Z|.|W|.

IV, para provar, é só fazer as contas, considerando Z1 = a+bi e Z2 = c+di
O conjugado de (Z1 + Z2) = (a+c) - (b+d)i, que é igual à soma dos conjugados mesmo

III vem da desigualdade triangular.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Desiguald ... _complexos
A dedução é, provavelmente, mais complicada do que a UFAM esperava, então é meio que um decoreba (para esse vestibular).
Basicamente você precisa pensar nos complexos como pontos num plano cartesiano, e formar com eles um triângulo (origem, Z1 e Z2).

[Albe]

[user]Zhadnyy[/user], Valeu! Muito obrigado!!!