Ensino Superior ⇒ Equações Diferenciais Ordinárias Tópico resolvido

[PUDIMMARCOS]

Suponha que o sistema descrito pela equação [tex3]mx''(t)+\gamma x'(t)+kx=0[/tex3] tem amortecimento crítico ou está superamortecido. Mostre que, independentemente das condições iniciais, a massa pode passar por sua posição de equilíbrio no máximo uma vez. Sugestão: determine todos os possíveis valores de [tex3]t[/tex3] para os quais [tex3]x=0[/tex3].

[AnthonyC]

Um sistema tem amortecimento crítico quando seu polinômio característico tem discriminante igual a zero. Vamos encontrar as raízes do polinômio:
[tex3]mr^2+\gamma r+k=0[/tex3]
[tex3]r={-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-4mk}\over 2m}[/tex3]
Como o amortecimento é crítico, então: [tex3]\gamma^2-4mk=0[/tex3]. Assim, temos:
[tex3]r=-{\gamma\over 2m}[/tex3]
Como temos raiz única, a solução da EDO será dada por:
[tex3]x(t)=C_1e^{ry}+C_2te^{rt}[/tex3]
Vamos agora encontrar os pontos no qual [tex3]x=0[/tex3]:
[tex3]x(t)=C_1e^{rt}+C_2te^{rt}[/tex3]
[tex3]x(t)=e^{rt}(C_1+C_2t)[/tex3]
[tex3]0=e^{rt}(C_1+C_2t)[/tex3]
Como [tex3]e^{rt}\neq0[/tex3]:
[tex3]0=C_1+C_2t[/tex3]

Se [tex3]C_2=0[/tex3], então [tex3]C_1=0[/tex3].Porém, [tex3]x=0[/tex3], para qualquer valor de [tex3]t[/tex3], logo, podemos dizer que ele apenas está nesse ponto uma única vez, já que ele não sairá desta posição.

Se [tex3]C_2\neq 0[/tex3], então [tex3]t_0=-{C_1\over C_2}[/tex3]. Vamos mostrar que essa é a única raiz da função:
[tex3]x'(t)=rC_1e^{rt}+C_2e^{rt}+rC_2te^{rt}[/tex3]
[tex3]x'(t)=e^{rt}(rC_1+C_2+rC_2t)[/tex3]
Sabemos que [tex3]e^{rt}>0,\forall ~~t\in\mathbb{R}[/tex3]. Assim, o sinal de [tex3]x'[/tex3] dependerá apenas da função linear. Vamos estudar seu sinal:
[tex3]rC_1+C_2+rC_2t=0[/tex3]
[tex3]rC_2t=-rC_1-C_2[/tex3]
Sabemos que [tex3]r\neq 0[/tex3], logo:
[tex3]t_1=-{C_1\over C_2}-{1\over r}[/tex3]
Portanto, a derivada tem apenas uma raiz. Portanto, a função pode mudar de crescimento apenas uma vez. E, como [tex3]r<0[/tex3], então [tex3][/tex3] [tex3]-{C_1\over C_2}-{1\over r}>-{C_1\over C_2}[/tex3]. Portanto, a mudança de crescimento ocorre após a raiz. Façamos o seguinte cálculo:
[tex3]x'\(t_0\)=e^{-r{C_1\over C_2}}\(rC_1+C_2+rC_2\cdot\(-{C_1\over C_2}\)\)[/tex3]
[tex3]x'\(t_0\)=e^{-r{C_1\over C_2}}C_2[/tex3]
Como [tex3]e^{-r{C_1\over C_2}}>0[/tex3], o sinal dependerá de [tex3]C_2[/tex3]. Dividimos então em dois casos:

• [tex3]C_2>0[/tex3]:

Temos que [tex3]x'\(t_0\)>0[/tex3], logo, a derivada é crescente na raiz e permanecerá crescente até [tex3]t_1[/tex3]. Verifiquemos o seguinte:
[tex3]x'\(t_1-{1\over r}\)=e^{r\(t_1-{1\over r}\)}\(rC_1+C_2+rC_2\cdot\(t_1-{1\over r}\)\)[/tex3]
[tex3]x'\(t_1-{1\over r}\)=e^{r\(t_1-{1\over r}\)}\(-C_2\)[/tex3]
Assim, a função será decrescente após [tex3]t_1[/tex3]. Verifiquemos agora seus limites:
[tex3]\lim_{t\rightarrow \infty}x=\lim_{t\rightarrow \infty}C_1e^{rt}+C_2te^{rt}[/tex3]
Como [tex3]r<0[/tex3], temos:
[tex3]\lim_{t\rightarrow \infty}x=0[/tex3]
Como a função é decrescente após [tex3]t_1[/tex3], em conjunto do fato que está não muda de crescimento após isso seu limite ser zero, implica que a função é positiva para [tex3]t>t_1[/tex3]. E como a função é estritamente crescente para [tex3]t< t_1[/tex3], então sua única raiz é [tex3]t=t_0[/tex3].

• [tex3]C_2<0[/tex3]:

Temos que [tex3]x'\(t_0\)<0[/tex3], logo, a derivada é decrescente na raiz e permanecerá decrescente até [tex3]t_1[/tex3]. Verifiquemos o seguinte:
[tex3]x'\(t_1-{1\over r}\)=e^{r\(t_1-{1\over r}\)}\(rC_1+C_2+rC_2\cdot\(t_1-{1\over r}\)\)[/tex3]
[tex3]x'\(t_1-{1\over r}\)=e^{r\(t_1-{1\over r}\)}\(-C_2\)[/tex3]
Assim, a função será crescente após [tex3]t_1[/tex3]. Verifiquemos agora seus limites:
[tex3]\lim_{t\rightarrow \infty}x=\lim_{t\rightarrow \infty}C_1e^{rt}+C_2te^{rt}[/tex3]
Como [tex3]r<0[/tex3], temos:
[tex3]\lim_{t\rightarrow \infty}x=0[/tex3]
Como a função é crescente após [tex3]t_1[/tex3], em conjunto do fato que esta não muda de crescimento após isso e seu limite ser zero, implica que a função é negativa para [tex3]t>t_1[/tex3]. E como a função é estritamente decrescente para [tex3]t< t_1[/tex3], então sua única raiz é [tex3]t=t_0[/tex3].