Ensino Médio ⇒ Questão em anexo - Geometria Analítica

[Flavio2020]

No gráfico, T é o ponto de tangência, ZJ = JY e M = (3; t). Encontre a equação ZN.
a)x-3y=0
b) x - 2y = 0
c)2x-[tex3]\sqrt{3}[/tex3] y=0
d)x-[tex3]\sqrt{3}[/tex3] y=0
e)x-4y=0

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Resposta

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Gab-d

[joaopcarvMOD]

Primeiramente, seja [tex3]\mathsf{C}[/tex3] o centro da semicircunferência de raio [tex3]\mathsf{R}[/tex3].

A reta [tex3]\mathsf{r}[/tex3], que contém [tex3]\mathsf{\overline{ZN}}[/tex3], passa pela origem. Ou seja, ela tem como equação [tex3]\mathsf{y \ = \ a \cdot x.}[/tex3]

Sejam [tex3]\mathsf{J'}[/tex3] e [tex3]\mathsf{Z'}[/tex3] as projeções ortogonais dos pontos [tex3]\mathsf{J}[/tex3] e [tex3]\mathsf{Z}[/tex3] no eixo [tex3]\mathsf{x}[/tex3], respectivamente.

Dado que [tex3]\mathsf{\triangle YZZ'}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\triangle YJJ'}[/tex3] são semelhantes, e ainda que [tex3]\mathsf{\overline{JY} \ = \ \dfrac{\overline{ZY}}{2}}[/tex3], então [tex3]\mathsf{\overline{JJ'} \ = \ \dfrac{\overline{ZZ'}}{2}}[/tex3].

Sendo [tex3]\mathsf{T}[/tex3] um ponto de tangência, por paralelismo, [tex3]\mathsf{\overline{CT} \ = \ \overline{ZZ'} \ = \ \overline{LY} \ = \ R.}[/tex3] Logo, temos [tex3]\mathsf{\overline{JJ'} \ = \ \dfrac{R}{2}}[/tex3].

No triângulo retângulo [tex3]\mathsf{\triangle CJJ'}[/tex3], [tex3]\mathsf{\sin(\angle JCJ') \ = \ \dfrac{\cancelto{\frac{R}{2}}{\overline{JJ'}}}{\cancelto{R}{\overline{CJ'}}} \ \implies \ \angle JCJ' \ = \ 30^\circ.}[/tex3]

Os triângulos [tex3]\mathsf{\triangle NYZ}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\triangle CJY}[/tex3] são semelhantes, de forma que, sendo [tex3]\theta[/tex3] o ângulo de inclinação de [tex3]\mathsf{\overline{ZN}}[/tex3], [tex3]\mathsf{\theta \ = \ 30^\circ \ \therefore \ a \ = \ \tan(30^\circ).}[/tex3]

Por fim:

[tex3]\mathsf{y \ = \ \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot x}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{x \ - \ \sqrt{3} \cdot y \ = \ 0}}}[/tex3]

[Flavio2020]

Valeu.
show de bola.