Ensino Superior ⇒ Ordem parcial demonstração Tópico resolvido

[Antônioa]

Seja C o conjunto dos números complexos e sejam x = a + bi e y = c + di em C.

Considere a relação T sobre C definida por: xTy ⇔ a ≤ c e b ≤ d.

1 - Mostre que T é uma relação de ordem parcial sobre C.

[AnthonyC]

Definição de relação de ordem parcial:

Uma relação [tex3]xTy[/tex3] num conjunto [tex3]A[/tex3], é uma relação de ordem parcial se satisfaz as seguinte propriedades, [tex3]\forall ~a,b,c\in A[/tex3]:

• Reflexividade: [tex3]aTa, ~~\forall a\in A[/tex3].
• Antissimetria: se [tex3]aTb[/tex3] e [tex3]bTa[/tex3], então [tex3]a=b[/tex3].
• Transitividade: se [tex3]aTb[/tex3] e [tex3]bTc[/tex3], então [tex3]aTc[/tex3].

Sejam [tex3]w,y,z\in\mathbb{C}[/tex3]. Podemos escrever [tex3]w=w_1+w_2i[/tex3], [tex3]y=y_1+y_2i[/tex3] e [tex3]z=z_1+z_2i[/tex3]. Vamos verificar se nossa relação obedece as propriedades:

• Reflexividade:

Temos que [tex3]w_1\leq w_1[/tex3] e [tex3]w_2\leq w_2[/tex3], [tex3]\forall ~~w_1,w_2\in\mathbb{R}[/tex3]. Por definição, temos que [tex3]wTw[/tex3].

• Antissimetria:

Seja [tex3]wTy[/tex3] e [tex3]yTw[/tex3]. Por definição, temos que da primeira que [tex3]w_1\leq y_1[/tex3] e [tex3]w_2\leq y_2[/tex3] e da segunda que [tex3]y_1\leq w_1[/tex3] e [tex3]y_2\leq w_2[/tex3]. Como a desigualdade sobre os reais é antissimétrica, temos que [tex3]w_1=y_1[/tex3] e [tex3]w_2=y_2[/tex3]. Por igualdade de complexos, temos que [tex3]w=y[/tex3].

• Transitividade:

Seja [tex3]wTy[/tex3] e [tex3]yTz[/tex3]. Por definição, temos que [tex3]w_1\leq y_1[/tex3] e [tex3]w_2\leq y_2[/tex3] da primeira e da segunda [tex3]y_1\leq z_1[/tex3] e [tex3]y_2\leq z_2[/tex3]. Como a inequação é uma operação transitiva, então [tex3]w_1\leq z_1[/tex3] e [tex3]w_2\leq z_2[/tex3]. Logo, [tex3]wTz[/tex3]

Como a relação obedece a todas as propriedades, então ela é uma relação de ordem parcial.