Ensino Superior ⇒ Volume de um Tronco de Cone por Integral Tripla Tópico resolvido

[ssouza]

Bom dia!!!!

Sou novo no forum, espero q não esteja fazendo este tópico errado.

Bom, Minha dúvida é o seguinte, tenho q provar o volume do tronco de um cone com integrais triplas. Mas não consigo de forma nenhuma. Se alguém souber um livro bom para me indicar, ou c alguém puder me dar uma dica pra ajudar.


Obrigado.

[AnthonyC]

Podemos caracterizar um cone de altura [tex3]H[/tex3] e raio [tex3]R[/tex3] no espaço pela equação [tex3]z=H-{H\over R}\sqrt{x^2+y^2}[/tex3], com [tex3]z>0[/tex3]. Um tronco de cone é obtido tomando [tex3]z[/tex3] máximo [tex3]h[/tex3] sendo [tex3]h\leq H[/tex3]. Logo:
Vamos calcular esse volume
[tex3]V(T)=\iiint_T dV[/tex3]
Podemos calcular utilizando coordenas cilindricas:
[tex3]\begin{cases}
x=\rho\cos(\theta) \\
y=\rho\sen(\theta) \\
z=z
\end{cases}[/tex3]
Vamos descobrir a relação entre essas variáveis:
[tex3]z=H-{H\over R}\sqrt{x^2+y^2}[/tex3]
[tex3]z=H-{H\over R}\sqrt{\rho^2\cos^2(\theta)+\rho^2\sen^2(\theta)}[/tex3]
[tex3]z=H-{H\over R}\sqrt{\rho^2}[/tex3]
[tex3]z=H-{H\over R}|\rho|[/tex3]
Como [tex3]\rho\geq0[/tex3]:
[tex3]z=H-{H\over R}\rho[/tex3]
Seja [tex3]r[/tex3] tal que [tex3]H-{H\over R}r=h[/tex3]. Temos que [tex3]0\leq z\leq H-{H\over R}\rho[/tex3], [tex3]r\leq \rho\leq R[/tex3] e [tex3]0\leq \theta\leq 2\pi[/tex3]. Porém, esses limites de [tex3]\rho[/tex3] deixam um "buraco" no meio, no formato de um cilindro. Assim, precisamos adicionar isso, co a condição de que, nesta região, [tex3]z=h[/tex3], logo:

[tex3]V(T)=\int_0^{2\pi}\int_0^r\int_0^{h} |J|dzd\rho d\theta+\int_0^{2\pi}\int_r^R\int_0^{H-{H\over R}\rho} |J|dzd\rho d\theta[/tex3]
Sabemos que em coordenadas cilíndricas [tex3]|J|=\rho[/tex3], logo:
[tex3]V(T)=\int_0^{2\pi}\int_0^r\int_0^{h} \rho dzd\rho d\theta+\int_0^{2\pi}d\theta\int_r^R\int_0^{H-{H\over R}\rho} \rho dzd\rho [/tex3]
[tex3]V(T)=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^r \rho\int_0^{h} dzd\rho +\int_0^{2\pi}d\theta\int_r^R\rho\int_0^{H-{H\over R}\rho} dzd\rho [/tex3]
[tex3]V(T)=\theta]_0^{2\pi}\int_0^r \rho \cdot z]_0^h d\rho +\theta]_0^{2\pi}\int_r^R\rho\cdot z]_0^{H-{H\over R}\rho} d\rho [/tex3]
[tex3]V(T)={2\pi}\int_0^r \rho \cdot h d\rho+ {2\pi}\int_r^R\rho\cdot \({H-{H\over R}\rho}\) d\rho [/tex3]
[tex3]V(T)={2\pi}h\int_0^r \rho d\rho+ {2\pi}\int_r^R \({H\rho-{H\over R}\rho^2}\) d\rho [/tex3]
[tex3]V(T)={2\pi}h\[\rho^2\over2\]_0^r +{2\pi}\[{H\rho^2\over2}-{H\rho^3\over 3R}\]_r^R [/tex3]
[tex3]V(T)={2\pi}h\[r^2\over2\] +{2\pi}\[{HR^2\over2}-{HR^3\over 3R}-{Hr^2\over2}+{Hr^3\over 3R}\] [/tex3]
[tex3]V(T)={\pi}h r^2 +{\pi}\[{HR^2}-{2HR^2\over 3}-{Hr^2}+{2Hr^3\over 3R}\] [/tex3]
[tex3]V(T)={\pi}\[h r^2+{HR^2\over 3}-{Hr^2}+{2Hr^3\over 3R}\] [/tex3]
[tex3]V(T)={\pi}\[{3h r^2\over3}+{HR^2\over 3}-{Hr^2}+{2Hr^3\over 3R}\] [/tex3]
[tex3]V(T)={\pi}\[{h r^2\over3}+{HR^2\over 3}-{Hr^2}+{2h r^2\over3}+{2Hr^3\over 3R}\] [/tex3]
[tex3]V(T)={\pi}\[{h r^2\over3}+{HR^2\over 3}-{Hr^2}+{2r^2\over3}\(h+{Hr\over R}\)\] [/tex3]
[tex3]V(T)={\pi}\[{h r^2\over3}+{HR^2\over 3}-{Hr^2}+{2Hr^2\over3}\] [/tex3]
[tex3]V(T)={\pi}\[{h r^2\over3}+{HR^2\over 3}-{Hr^2\over3}\] [/tex3]
[tex3]V(T)={\pi}\[{hr^2\over3}+{HR^2\over3}-{HRr\over3}+{HRr\over3}-{Hr^2\over3}\][/tex3]
[tex3]V(T)={\pi \over3}\[hr^2+HR^2-HRr+HRr-Hr^2\][/tex3]
[tex3]V(T)={\pi \over3}\[hr^2+R^2\({H}-{H\over R}r\)+Rr\({H}-{H\over R}r\)\][/tex3]
[tex3]V(T)={\pi \over3}(hr^2+R^2h+Rrh)[/tex3]
[tex3]V(T)={\pi h\over3}(R^2+Rr+r^2)[/tex3]