Ensino Médio ⇒ Praticando a aritmética pág 204 Tópico resolvido

[MatheusCNIME]

Sendo 1 + [tex3]\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}[/tex3] + ... = [tex3]\frac{\pi ^{2}}{6}[/tex3], então 1 + [tex3]\frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \frac{1}{49}[/tex3] + ... é igual a:

a) [tex3]\frac{\pi ^{2}}{6}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\pi ^{2}}{8}[/tex3]
c) [tex3]\frac{\pi ^{2}}{9}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\pi ^{2}}{10}[/tex3]
e) [tex3]\frac{\pi ^{2}}{12}[/tex3]

Resposta

---

b

[careca]

É dado do problema:

[tex3]S_0 = 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+... =\frac{\pi ^2}{6}[/tex3]

Note:

[tex3]S_1 = \frac{1}{2^2} +\frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + ... [/tex3]

[tex3]S_1 = \frac{1}{2^2}[1 +\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ...] [/tex3]

[tex3]S_1 =\frac{1}{4}.\frac{\pi ^2}{6}=\frac{\pi ^2}{24}[/tex3]

Então pra achar a soma pedida, basta fazer [tex3]S_0-S_1[/tex3] Sobrando apenas os termos relativos aos quadrados ímpares:

[tex3]1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+...=\frac{\pi^2 }{6}-\frac{\pi ^2}{24} =\frac{3\pi ^2}{24} =\frac{\pi ^2}{8}[/tex3]

(B)

@MatheusCNIME

[MatheusCNIME]

É dado do problema:

[tex3]S_0 = 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+... =\frac{\pi ^2}{6}[/tex3]

Note:

[tex3]S_1 = \frac{1}{2^2} +\frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + ... [/tex3]

[tex3]S_1 = \frac{1}{2^2}[1 +\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ...] [/tex3]

[tex3]S_1 =\frac{1}{4}.\frac{\pi ^2}{6}=\frac{\pi ^2}{24}[/tex3]

Então pra achar a soma pedida, basta fazer [tex3]S_0-S_1[/tex3] Sobrando apenas os termos relativos aos quadrados ímpares:

[tex3]1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+...=\frac{\pi^2 }{6}-\frac{\pi ^2}{24} =\frac{3\pi ^2}{24} =\frac{\pi ^2}{8}[/tex3]

(B)

@MatheusCNIME

Valeu!! Ajudou-me muito!!