Ensino Médio ⇒ Demonstração: Geometria Analítica | Alturas de um Triângulo Tópico resolvido

[Projenitor]

Prove, analiticamente, que as três alturas de um triângulo têm um ponto comum.

[AnthonyC]

Sem perda de generalidade, tomemos o triângulo de vértices [tex3]A=(0,0)[/tex3], [tex3]B=(b,0)[/tex3] e [tex3]C=(m,n)[/tex3]. Vamos dividir em dois casos:

• [tex3]m\neq b[/tex3]:

Primeiro, encontremos as retas que contém os lados. Pela forma como definimos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3], vemos que [tex3]\overline{AB}: y=0[/tex3]. Verifiquemos as outras:
[tex3]\overline{AC}: y=p_{AC}\cdot x+q_{AC} [/tex3]
Considerando que a reta passa por [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3], temos:
[tex3]\begin{cases}
0=p_{AC}\cdot 0+q_{AC}\\
n=p_{AC}\cdot m+q_{AC}
\end{cases}\implies \begin{cases}
p_{AB}={n\over m} \\
q_{AC}=0
\end{cases}[/tex3]
Logo, [tex3]\overline{AC}: y={n\over m}\cdot x[/tex3]

[tex3]\overline{BC}: y=p_{BC}\cdot x+q_{BC} [/tex3]
Considerando que a reta passa por [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3], temos:
[tex3]\begin{cases}
0=p_{BC}\cdot b+q_{BC}\\
n=p_{BC}\cdot m+q_{BC}
\end{cases}\implies \begin{cases}
p_{BC}={n\over m-b} \\
q_{BC}=-{bn\over m-b}
\end{cases}[/tex3]
Logo, [tex3]\overline{BC}: y={n\over m-b}\cdot x-{bn\over m-b}[/tex3].

Para encontrar as alturas, usaremos a definição delas: ceviana perpendicular ao lado oposto ou ao prolongamento deste. Como os lados estão contidos nas retas encontradas, então as retas que contém a altura serão perpendiculares as retas obtidas. Para isso, utilizemos o seguinte fato:

Sejam duas retas [tex3]r: y=ax+b[/tex3] e [tex3]s:y=cx+d[/tex3], com [tex3]a,c\neq 0[/tex3]. Se [tex3]r\perp s[/tex3], então [tex3]a\cdot c=-1[/tex3].

Sejam então [tex3]\overline{AB}_\perp,\overline{BC}_\perp,\overline{AC}_\perp[/tex3] as retas perpendiculares a [tex3]\overline{AB},\overline{BC},\overline{AC}[/tex3], respectivamente. Temos:

[tex3]\overline{AB}_\perp: x=q'_{AB}[/tex3]
Como essa reta passa por [tex3]C[/tex3], então [tex3]q'_{AB}=m[/tex3]. Logo, [tex3]\overline{AB}_\perp: x=m[/tex3]

[tex3]\overline{AC}_\perp: y=p'_{AC}\cdot x+q'_{AC} [/tex3]
Como a reta é perpendicular a [tex3]\overline{AB}[/tex3], então [tex3]p_{AC}\cdot p'_{AC}=-1\implies p'_{AC}=-{m\over n}[/tex3]. Considerando que a reta passa por [tex3]B[/tex3], temos:
[tex3]\begin{cases}
0=p'_{AC}\cdot b+q'_{AC}\\
\end{cases}\implies \begin{cases}
q'_{AC}={bm\over n}
\end{cases}[/tex3]
Logo, [tex3]\overline{AC}: y=-{m\over n}\cdot x+{bm\over n}[/tex3]

[tex3]\overline{BC}_\perp: y=p'_{BC}\cdot x+q'_{BC} [/tex3]
Como a reta é perpendicular a [tex3]\overline{BC}[/tex3], então [tex3]p_{BC}\cdot p'_{BC}=-1\implies p'_{BC}={b-m\over n}[/tex3]. Considerando que a reta passa por [tex3]A[/tex3], temos:
[tex3]\begin{cases}
0=p'_{BC}\cdot 0+q'_{BC}
\end{cases}\implies \begin{cases}
q'_{BC}=0
\end{cases}[/tex3]
Logo, [tex3]\overline{BC}_\perp: y={b-m\over n}\cdot x[/tex3].
Vamos agora encontrar o ponto de intersecção de [tex3]\overline{AC}\perp[/tex3] e [tex3]\overline{AB}_\perp[/tex3]:
[tex3]\begin{cases}
x=m \\
y=-{m\over n}\cdot x+{bm\over n}
\end{cases}\implies \begin{cases}
x=m \\
y={(b-m)m\over n}
\end{cases}[/tex3]
Verifiquemos que este ponto também satisfaz [tex3]\overline{BC}_\perp:[/tex3]
[tex3]y={b-m\over n}\cdot x[/tex3]
[tex3]{(b-m)m\over n}={b-m\over n}\cdot m[/tex3]
[tex3]{(b-m)m\over n}={(b-m)m\over n}[/tex3]
Portanto, as três alturas tem ponto em comum, dado por [tex3]O=\(m,{(b-m)m\over n}\)[/tex3].

• [tex3]m=b[/tex3]

Nesse caso, temos os pontos [tex3]A=(0,0),~~B=(b,0),~~C=(b,n)[/tex3], com [tex3]n\neq 0[/tex3], pois do contrário teríamos só dois pontos. Utilizemos o mesmo método de antes:
[tex3]\overline{AB}: y=0[/tex3]
[tex3]\overline{BC}: x=b[/tex3]

[tex3]\overline{AC}: y=p_{AC}\cdot x+q_{AC} [/tex3]
Considerando que a reta passa por [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3], temos:
[tex3]\begin{cases}
0=p_{AC}\cdot 0+q_{AC}\\
n=p_{AC}\cdot b+q_{AC}
\end{cases}\implies \begin{cases}
p_{AC}={n\over b} \\
q_{AC}=0
\end{cases}[/tex3]
Logo, [tex3]\overline{AC}: y={n\over b}\cdot x[/tex3].

Temos agora:
[tex3]\overline{AB}_\perp: x=q_{AB}[/tex3], e como a reta passa por [tex3]C[/tex3], então [tex3]q_{AB}=b[/tex3]. Logo, [tex3]\overline{AB}_\perp: x=b[/tex3].

[tex3]\overline{BC}_\perp: y=p_{BC}[/tex3] e como a reta passa por [tex3]A[/tex3], então [tex3]p_{BC}=0[/tex3]. Logo, [tex3]\overline{BC}_\perp: y=0[/tex3].

[tex3]\overline{AC}_\perp: y=p'_{AC}\cdot x+q'_{AC} [/tex3]
Temos que [tex3]p'_{AC}\cdot p_{AC}=-1\implies p'_{AC}=-{b\over n}[/tex3]. Como a reta passa por [tex3]B[/tex3], então:
[tex3]\begin{cases}
0=p'_{AC}\cdot b+q'_{AC}\\

\end{cases}\implies \begin{cases}
q'_{AC}={b^2\over n} \\

\end{cases}[/tex3]
Logo, [tex3]\overline{AC}_\perp: y=-{b\over n}\cdot x+{b^2\over n} [/tex3].

Vemos que o ponto de intersecção de [tex3]\overline{AB}_\perp[/tex3] e [tex3]\overline{BC}_\perp[/tex3] é o ponto [tex3](b,0)[/tex3] que é o ponto [tex3]B[/tex3]. Mas sabemos que a reta [tex3]\overline{AC}_\perp[/tex3] passa por [tex3]B[/tex3]. Logo, [tex3]B[/tex3] é ponto comum a todas as retas.

Assim, provamos que as alturas tem ponto em comum.
C.Q.D. ou T.P. (teje provado)