Cap. 13 - Relaciones Métricas en Triângulos Rectângulos ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:19 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
19 - No triângulo ABC, a mediatriz do lado AC intercepta
o lado BC no ponto "P" e o prolongamento do lado AB no ponto­
"Q". Se "O" é o circuncentro do trián­gulo e OP. OQ =200
calcular o circunraio do triângulo.

Resposta

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E) 10[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

Primeiramente, note que [tex3]\angle OAC = 90^{\circ} - \angle ABC[/tex3], pois [tex3]\triangle AOC[/tex3] é [tex3]O-[/tex3] isósceles e [tex3]\angle AOC = 2 \angle ABC := 2 \angle B[/tex3], pois [tex3]\angle ABC[/tex3] é inscrito no círculo [tex3](ABC)[/tex3] e enxerga o arco [tex3]\widehat{AC}[/tex3].

Agora, como [tex3]P[/tex3] está na mediatriz de [tex3]AC[/tex3], o triângulo [tex3]\triangle APC[/tex3] é [tex3]P-[/tex3] isósceles (pois [tex3]\triangle APH \cong \triangle CPH[/tex3] por L.A.L em [tex3]H[/tex3]), logo [tex3]\angle PAC = \angle PAC = \angle C[/tex3].

Então, [tex3]\angle PAO = \angle C - (90^{\circ} - \angle B) = 90^{\circ} - \angle A = \angle AQO[/tex3].

veja então que [tex3]\triangle AOQ \sim \triangle POA[/tex3], pois compartilham o ângulo [tex3]\angle AOP [/tex3] e, conforme demonstrado acima, [tex3]\angle PAO = \angle AQO[/tex3], donde:

[tex3]\frac{AO}{OQ} = \frac{OP}{AO} \iff R^2 = OP \cdot OQ \iff R = 10 \sqrt2[/tex3]