Ensino Superior ⇒ Calculo 1 - Integral definida. Tópico resolvido

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1_ Calcule a integral utilizando os métodos de mudança de variável e integração por partes.

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[matheusfrs1]

Vou usar a notação que normalmente utilizamos aqui no Brasil:

[tex3]\int \theta\,\tg ,(5\theta^{2})+\theta,\cossec ,(3\theta^{2}),\d\theta \rightarrow \int \theta,\tg ,(5\theta^{2}),\d\theta,+\int\theta,\cossec ,(3\theta^{2}),\d\theta[/tex3]

Resolvendo [tex3]\int \theta,\tg ,(5\theta^{2}),\d\theta[/tex3] :

[tex3]u=5\theta^{2}[/tex3] e [tex3]\frac{\du}{\d\theta}=10\theta,\d\theta \rightarrow \d\theta=\frac{1}{10\theta},\du[/tex3]

[tex3]\int\theta,\tg (u),\frac{1}{10\theta},\d\theta \rightarrow \int\frac{\tg (u)}{10},\du \rightarrow \boxed{\frac{1}{10}\int\frac{\sen (u)}{\cos (u)},\du}[/tex3] Eq 1

Mudando de variável mais uma vez:

[tex3]v=\cos (u)[/tex3] e [tex3]\frac{dv}{\du}=-\sen (u) \rightarrow \du=-\frac{1}{\sen (u)},dv[/tex3]

[tex3]\int\frac{\sen (u)}{v}\left(-\frac{1}{\sen (u)}\right),dv \rightarrow \int-\frac{1}{v}\,dv \rightarrow \boxed{-\ln (v)}[/tex3]

Substituindo o resultado na integral em 1 e as variáveis, vem:

[tex3]-\frac{\ln (v)}{10} \rightarrow -\frac{\ln (\cos (u))}{10} \rightarrow \boxed{-\frac{\ln (\cos (5\theta^{2})}{10}}[/tex3]

Resolvendo [tex3]\int\theta,\cossec ,(3\theta^{2}),\d\theta[/tex3] :

[tex3]u=3\theta^{2}[/tex3] e [tex3]\frac{\du}{\d\theta}=6\theta \rightarrow \d\theta=\frac{1}{6\theta},\du[/tex3]

[tex3]\int\theta,\cossec (u),\frac{1}{6\theta},\du \rightarrow \boxed{\frac{1}{6}\int \cossec (u)\du}[/tex3] Eq 2

Essa é uma integral conhecida, cuja técnica de resolução se dá pela substituição de Weierstrass (se vc não conhecer a técnica, manda uma resposta que eu desenvolvo melhor)

[tex3]t=\tg \left(\frac{u}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\cossec (u)=\frac{1+t^{2}}{2t}[/tex3] e [tex3]\du=\frac{2}{1+t^2},\dt[/tex3]

[tex3]\int\frac{1+t^2}{2t}\cdot \frac{2}{1+t^2} \rightarrow \int\frac{1}{t},\dt \rightarrow \boxed{\ln (t)}[/tex3]

Substituindo em 2, temos:

[tex3]\frac{\ln (t)}{6} \rightarrow \frac{\ln (\tg \left(\frac{u}{2})\right)}{6} \rightarrow \boxed{\frac{\ln \left(\tg \left(\frac{3\theta^{2}}{2}\right)\right)}{6}}[/tex3]

Substituindo os dois resultados na expressão original, temos

[tex3]\boxed{-\frac{\ln (\cos (5\theta^2))}{10}+\frac{\ln \left(\tg \left(\frac{3\theta^{2}}{2}\right)\right)}{6}+C}[/tex3]

[Flamengoool]

Vou usar a notação que normalmente utilizamos aqui no Brasil:

[tex3]\int \theta\,\tg \,(5\theta^{2})+\theta\,\cossec \,(3\theta^{2})\,d\theta \rightarrow \int \theta\,\tg \,(5\theta^{2})\,d\theta\,+\int\theta\,\cossec \,(3\theta^{2})\,d\theta[/tex3]

Resolvendo [tex3]\int \theta\,\tg \,(5\theta^{2})\,d\theta[/tex3] :

[tex3]u=5\theta^{2}[/tex3] e [tex3]\frac{du}{d\theta}=10\theta\,d\theta \rightarrow d\theta=\frac{1}{10\theta}\,du[/tex3]

[tex3]\int\theta\,\tg (u)\,\frac{1}{10\theta}\,d\theta \rightarrow \int\frac{\tg (u)}{10}\,du \rightarrow \boxed{\frac{1}{10}\int\frac{\sen (u)}{\cos (u)}\,du}[/tex3] Eq 1

Mudando de variável mais uma vez:

[tex3]v=\cos (u)[/tex3] e [tex3]\frac{dv}{du}=-\sen (u) \rightarrow du=-\frac{1}{\sen (u)}\,dv[/tex3]

[tex3]\int\frac{\sen (u)}{v}\left(-\frac{1}{\sen (u)}\right)\,dv \rightarrow \int-\frac{1}{v}\,dv \rightarrow \boxed{-\ln (v)}[/tex3]

Substituindo o resultado na integral em 1 e as variáveis, vem:

[tex3]-\frac{\ln (v)}{10} \rightarrow -\frac{\ln (\cos (u))}{10} \rightarrow \boxed{-\frac{\ln (\cos (5\theta^{2})}{10}}[/tex3]

Resolvendo [tex3]\int\theta\,\cossec \,(3\theta^{2})\,d\theta[/tex3] :

[tex3]u=3\theta^{2}[/tex3] e [tex3]\frac{du}{d\theta}=6\theta \rightarrow d\theta=\frac{1}{6\theta}\,du[/tex3]

[tex3]\int\theta\,\cossec (u)\,\frac{1}{6\theta}\,du \rightarrow \boxed{\frac{1}{6}\int \cossec (u)\,du}[/tex3] Eq 2

Essa é uma integral conhecida, cuja técnica de resolução se dá pela substituição de Weierstrass (se vc não conhecer a técnica, manda uma resposta que eu desenvolvo melhor)

[tex3]t=\tg \left(\frac{u}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\cossec (u)=\frac{1+t^{2}}{2t}[/tex3] e [tex3]du=\frac{2}{1+t^2}\,dt[/tex3]

[tex3]\int\frac{1+t^2}{2t}\cdot \frac{2}{1+t^2} \rightarrow \int\frac{1}{t}\,dt \rightarrow \boxed{\ln (t)}[/tex3]

Substituindo em 2, temos:

[tex3]\frac{\ln (t)}{6} \rightarrow \frac{\ln (\tg \left(\frac{u}{2})\right)}{6} \rightarrow \boxed{\frac{\ln \left(\tg \left(\frac{3\theta^{2}}{2}\right)\right)}{6}}[/tex3]

Substituindo os dois resultados na expressão original, temos

[tex3]\boxed{-\frac{\ln (\cos (5\theta^2)}{10}+\frac{\ln \left(\tg \left(\frac{3\theta^{2}}{2}\right)\right)}{6}+C}[/tex3]

Muito obrigado man, salvou minha alma agora kkk Fez essa integral montruosa parecer facil. Vou analisar aqui e qualquer coisa mando uma mensagem. TMJ