Ensino Superior ⇒ Algebra Linear Combinação Linear

[Eularissah]

Pessoal, estou com dificuldades na questão abaixo. Podem me ajudar ?

Considere em R2 o conjunto S= {( 1,1),(2,2)}

A) mostre que o vector (-5,5) é combinação linear do vetor S
B) mostre que o vector (1,0) é combinação linear do vector S
C) o conjunto S gera R2?
D) determine a forma geral dos vetores (a,b) €L(S)

[AnthonyC]

A) mostre que o vetor [tex3](-5,-5)[/tex3] é combinação linear do vetor [tex3]S[/tex3].
Queremos achar escalares tais que:
[tex3](-5,-5)=a(1,1)+b(2,2)[/tex3]
[tex3](-5,-5)=(a,a)+(2b,2b)[/tex3]
[tex3](-5,-5)=(a+2b,a+2b)[/tex3]
Por igualdade de vetores:
[tex3]\begin{cases}a+2b=-5
\\a+2b=-5\end{cases}[/tex3]
Tomando [tex3]a=1[/tex3] e [tex3]b=2[/tex3], satisfazemos o sistema. Logo, [tex3](-5,-5)[/tex3] é combinação linear dos vetores de [tex3]S[/tex3].

B) mostre que o vector [tex3](1,0)[/tex3] não é combinação linear do vector [tex3]S[/tex3].
Queremos achar escalares tais que:
[tex3](1,0)=c(1,1)+d(2,2)[/tex3]
[tex3](1,0)=(a,a)+(2b,2b)[/tex3]
[tex3](1,0)=(a+2b,a+2b)[/tex3]
Por igualdade de vetores:
[tex3]\begin{cases}a+2b=1
\\a+2b=0\end{cases}[/tex3]
Substituindo a primeira equação na segunda, temos que [tex3]1=0[/tex3]. Logo, o sistema é impossível. Portanto, [tex3](1,0)[/tex3] não é combinação linear dos vetores de [tex3]S[/tex3].


C) o conjunto [tex3]S[/tex3] gera [tex3]\mathbb{R}^2[/tex3]?
Como foi visto antes, o vetor [tex3](1,0)[/tex3] não pode ser obtido por combinação linear dos vetores de S. Como um conjunto gerador produz qualquer vetor do espaço, então o conjunto S não é gerador de mathbb{R}^2.

Uma outra forma de verificar isso é verificando se os vetores são L.I.. Para isso, verificamos se a seguinte equação possuí solução trivial (todos os coeficientes nulos):
[tex3]a(1,1)+b(2,2)=(0,0)[/tex3]
[tex3](a+2b,a+2b)=(0,0)[/tex3]
Por igualdade de vetores:
[tex3]\begin{cases}a+2b=0
\\a+2b=0\end{cases}\implies \begin{cases}a=-2b
\end{cases}[/tex3]
Escolhendo [tex3]b\neq 0[/tex3], obtemos [tex3]a\neq 0[/tex3]. Portanto, há solução não-trivial do sistema. Assim, os vetores são L.D. Portanto, podemos descartar um deles. Assim, teremos apenas um vetor, mas como [tex3]\mathbb{R}^2[/tex3] possuí dimensão 2, então precisamos de no mínimo dois vetores para gerá-lo. Logo, esses vetores não geram [tex3]\mathbb{R}^2[/tex3].

D) determine a forma geral dos vetores [tex3](a,b) \in L(S)[/tex3]
Não sei ao certo o que significa esta notação [tex3]L(S)[/tex3]. Se você puder esclarecer, daí eu respondo essa também.