Cap. 14 - Relaciones Métricas en Triângulos Obtusângulos ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIV - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:03 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
3 -Na figura, calcular MD. Se BM = 6m e DE= lm.

Resposta

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D) 2m

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{ MD=x. M ~é~ incentro ~do~ △ABC\\

T.Incentro: \frac{BM}{MD}=\frac{a+c}{b}⟹\frac{6}{x}=\frac{a+c}{b}(I)\\
CD=\frac{ab}{a+c}\\
△ADE∼△BDC ~e~ AE=ME^*\\
\frac{AE}{DE}=\frac{BC}{CD}\implies \frac{ME}{1} = \frac{a}{CD}\therefore ME = \frac{\cancel{a}(a+c)}{\cancel{a}b}(II)\\
⟹ME=MD+DE=x+1=\frac{a+c}{b} (usando II)\\
Substituindo ~em ~1: \frac{6}{x}=x+1⟹(x−2)(x+3)=0
\therefore\boxed {\color{red} x=2}}[/tex3]
(Solução: MathLover)

* AE=CE=ME sempre que M é o incentro do △ABC e E e o ponto onde a bissetriz de ∠B
intercepta o circuncírculo do △ABC:
[tex3]\mathsf{∠CAE=∠\frac{B}{2},∠MAC=∠\frac{A}{2} ⟹∠MAE=\frac{∠B+∠A}{2}=90^∘−\frac{∠C}{2}\\
∠MEA=∠C⟹∠AME=90^∘−∠\frac{C}{2}=∠MAE
∴AE=ME}[/tex3]

(Outra solução - viewtopic.php?t=75081)