Cap. 14 - Relaciones Métricas en Triângulos Obtusângulos ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIV - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:05 Tópico resolvido

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Problema Proposto
5 - As medidas dos lados de um triángulo
são 3, 5 e 7. Calcular a medida do maior ángulo
de um triângulo cujos lados são as
inversas das alturas do primeiro triángulo

Resposta

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120^o

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Considere o triângulo ABC com os lados a, b(maior lado) e c opostos aos vértices A, B e C respectivamente.
Deixe as alturas de cada vértice para o lado oposto serem ha, hb e hc.
Se a área do triângulo for A, nós obtemos,
[tex3]\frac{1}{ha}=\frac{a}{2A}\\
\frac{1}{hb}=\frac{b}{2A}\\
\frac{1}{hc}=\frac{c}{2A}[/tex3]
Portanto o triângulo formado pelos inversos das alturas é semelhante ao triângulo original com razão de semelhança [tex3]= \frac{1}{2A}[/tex3]

Teorema dos cossenos:
[tex3]7^2 = 3^2+5^2 - 2.3.5.cosB \implies cos\hat{B} = -\frac{1}{2}\therefore \boxed{\color{red}\hat{B} = 120^o}[/tex3]
(Solução:ACB)

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