Pré-Vestibular ⇒ (UEPG-PR) Progressão Geométrica

[Carina]

Os lados de um triângulo retângulo são números em [tex3]P.G.[/tex3] crescente. A razão da [tex3]P.G.[/tex3] é:

Obs.:Tentei tudo que sabia, mas não cheguei nem perto do resultado.

[Thadeu]

Seja o triângulo retângulo com catetos a e b e hipotenusa c

[tex3]c^2=a^2+b^2[/tex3]
se os lados estão em PG de razão q, podemos dizer que os lados são [tex3](\frac{x}{q}\,,\,\,x\,,\,\,xq)[/tex3]:
[tex3]a=\frac{x}{q}\,\,,\,\,b=x\,\,\,e\,\,\,c=xq\\(xq)^2=(\frac{x}{q})^2+(x)^2\\x^2q^2=\frac{x^2}{q^2}+x^2\\x^2q^2=\frac{x^2+x^2q^2}{q^2}[/tex3]

colocando [tex3]x^2[/tex3] em evidência no 2º membro

[tex3]x^2q^2=x^2\(\frac{1+q^2}{q^2}\)\,\Rightarrow\,q^2=\frac{1+q^2}{q^2}\,\Rightarrow\,q^4-q^2-1=0[/tex3]

Resolvendo a equação biquadrada

[tex3]q^2=B\\B^2-B-1=0\,\Rightarrow\,B=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex3]

Como o valor [tex3]B=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex3] é negativo, só podemos usar [tex3]B=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3]

Logo, a razão será [tex3]q^2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\,\Rightarrow\,q=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}[/tex3]

[Carina]

Valeu!!!
Me ajudo muito!!
bjos!