Demonstrações ⇒ Pontos Médios dos Lados de um Quadrilátero formam um Paralelogramo

[Marcos]

Demonstre que em um quadrilátero qualquer os pontos médios dos lados são vértices de um paralelogramo.

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No quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] sejam [tex3]M[/tex3], [tex3]N[/tex3], [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] os pontos médios dos lados.
[*]Em um triângulo qualquer, se [tex3]M[/tex3] for ponto médio de [tex3]\overline{AB}[/tex3] e [tex3]Q[/tex3], ponto médio de [tex3]\overline{AD}[/tex3], então [tex3]\triangle {ADB} \sim \triangle {AQM}[/tex3].

Então, como [tex3]\frac {\overline{AQ}}{\overline{AD}} = \frac {1}{2} = \frac {\overline{AM}}{\overline{AB}}[/tex3], [tex3]\Delta AQM \sim \Delta ADB[/tex3] e, portanto [tex3]\overline{QM} \parallel \overline{DB}[/tex3] e [tex3]\boxed{{\overline{QM}}=\frac {\overline{DB}}{2}}[/tex3].

De forma análoga, [tex3]\overline{PN} \parallel \overline{DB}[/tex3] e [tex3]\boxed{{\overline{PN}}=\frac {\overline{DB}}{2}}[/tex3].

Assim, [tex3]\overline{QM} \parallel \overline{PN}[/tex3] e [tex3]\overline{QM} = \overline{PN}[/tex3].Logo, [tex3]MNPQ[/tex3] é um paralelogramo. (c.q.d)

[FelipeMartinMOD]

sobre o tópico acima:
o primeiro erro de TEX corresponde a: [tex3]\overline{AB}[/tex3]

o segundo erro de TEX corresponde a: [tex3]\overline{AD}[/tex3]