Física III ⇒ Mecânica dos fluídos - força num corpo submerso Tópico resolvido

[PeterPark]

Dada a barragem abaixo:

brr.JPG (12.94 KiB) Exibido 1187 vezes

E dado o peso especifico da barragem: [tex3]\gamma_{barragem} = 24kN/m^3[/tex3]

h= altura maxima do fluído = altura da barragem.

L = comprimento da barragem.

E dado [tex3]\gamma_{f}[/tex3] = peso especifico do fluido atras da barragem (se for H2O, é 10000).

Dados h, L, [tex3]\gamma_{barragem}[/tex3], e [tex3]\gamma_{fluído}[/tex3], qual a intensidade e ponto de aplicação da força do fluido sobre a barragem?
E qual a largura "b" da base da barragem ?

Nota: A única força resistente ao tombamento da barragem em torno do ponto A é o peso da barragem.

[PeterPark]

Ps: [tex3]\gamma_{barragem}[/tex3] é chamado de [tex3]\gamma_{concreto}[/tex3] nesta solução.

Área em que a pressão do líquido age sobre a parede:

area.JPG (11.01 KiB) Exibido 1156 vezes

A pressão aumenta conforme a profundidade, portanto, o diagrama de pressões se comporta assim:

diagrama.JPG (12.44 KiB) Exibido 1156 vezes

Análise:
Dividindo a altura da parede em tamanhos iguais (y) e aplicando uma pressão única em cada parte:
Imaginemos uma distribuição de pressões conforme a imagem a seguir:

distrib.JPG (13.96 KiB) Exibido 1140 vezes

As áreas equivalentes ao produto da pressão por uma altura y são:
[tex3]P\cdot y[/tex3]

blue.JPG (11.17 KiB) Exibido 1156 vezes

E o volume ao multiplicar cada área pelo comprimento da parede é:
[tex3]V = P\cdot y\cdot L = P\cdot A[/tex3]
O volume é o produto da pressão por uma área de comprimento L e altura y.

Como [tex3]P = \frac{F}{A}[/tex3] temos que [tex3]F=P\cdot A[/tex3]
Portanto, a força exercida em cada "tira" de altura y é: [tex3]F = V = P\cdot y\cdot L[/tex3]

A força total, é a soma de todas as forças, ou seja, de todos os volumes:

retangulos.JPG (13.35 KiB) Exibido 1156 vezes

Diminuindo y, para y muito pequeno, teremos um volume de um prisma, dada a distribuição de pressões mostrada na segunda imagem dessa
resolução:

pmax.JPG (11.72 KiB) Exibido 1156 vezes

A força é o volume deste prisma de base Pmáx, altura h e comprimento L.

Pmáx é a pressão máxima exercida na base da parede, dada por:
[tex3]P_{máx} = \gamma_{líquido}\cdot h[/tex3]

O volume do prisma é:
[tex3]V = \frac{h\cdot P_{max}}{2}\cdot L = \frac{\gamma_{líquido} \cdot h^2}{2}\cdot L[/tex3]

Portanto, a intensidade da força é: [tex3]F_h = \gamma_{líquido} \cdot \frac{h^2\cdot L}{2} ~~N[/tex3]



O ponto de aplicação é o centro de gravidade do prisma = [tex3]\frac{h}{3}[/tex3] em y (centro de gravidade do triangulo retangulo).


Há tambem uma força peso atuando na parede: [tex3]P = \gamma_{concreto}\cdot V = \gamma_{concreto}\cdot b\cdot L\cdot h[/tex3]


Para que a parede nao tombe, a soma dos momentos gerados pela força peso e pela força do liquido deve ser zero.

momento.JPG (13.06 KiB) Exibido 1156 vezes

[tex3]P\cdot \frac{b}{2} = F_h \cdot \frac{h}{3} \\\ \\ \gamma_{concreto}\cdot b\cdot L\cdot h \cdot \frac{b}{2} = \gamma_{líquido} \cdot \frac{h^2\cdot L}{2} \cdot \frac{h}{3} \\\ \\ b^2 = \frac{\gamma_{líquido}}{\gamma_{concreto}}\cdot \frac{h^2}{3} \\\ \\ b = h\cdot \sqrt{\frac{\gamma_{líquido}}{3\cdot \gamma_{concreto}}}[/tex3]