Cap. 14 - Relaciones Métricas en Triângulos Obtusângulos ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIV - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:12 Tópico resolvido

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Problema Proposto
12 -Na figura ABCD é um quadrado; A e O
são centros, AB = (3 + [tex3]\sqrt{5}[/tex3]) .
Calcular o raio máximo "x"

Resposta

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C) 1

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O raio máximo do círculo vermelho acontecerá quando a circunferência vermelha estiver exatamente no meio de B e F.

Como BF é uma corda tanto da circunferência azul quanto da circunferência verde, podemos concluir que a mediatriz de BF passará, obrigatoriamente, nos centros O e A das circunferências verde e azul, respectivamente. Portanto, traçamos o segmento AO e ele passará pelo centro J da circunferência vermelha e pelos pontos de tangência H e I.

AH é o raio da azul, que é igual ao lado AB do quadrado ( AH=AB). Portanto, [tex3]\boxed{AH=3 +\sqrt{5}}[/tex3] .

AO pode ser encontrado por pitágoras no triângulo ABO , onde [tex3]BO=\frac{AB}{2} \therefore AO=\frac{\sqrt5}{2}⋅(3+\sqrt5)
[/tex3]
[tex3]OH = AO−AH. \therefore OH=\frac{\sqrt5}{2}⋅(3+\sqrt5)−(3+\sqrt5)→OH=\frac{\sqrt5−1}{2}[/tex3]

IH vale o raio da circunferência verde menos OH , ou seja, [tex3]IH=IO−OH→\frac{3+\sqrt5}{2}-\frac{\sqrt5 -1}{2}→IH=2\\
\therefore \boxed{\color{red}x = \frac{IH}{2} = 1}[/tex3]

(Solução: Caju - viewtopic.php?f=4&t=55301&p=145007&hili ... mo#p145007)