Cap. 14 - Relaciones Métricas en Triângulos Obtusângulos ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIV - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:15 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
15 - Na figura, M, N e F são pontos médios
dos lados AB, BC e AC respectivamente.
Calcular BE se:[tex3]\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{18}[/tex3]

Resposta

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A) 3[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

[petrasMOD]

O círculo que passa pelos pontos médio de um triângulo é seu círculo de 9 pontos.

Isso implica que "E" é o pé da altura de em relação à AC

[tex3]\angle BEF = \angle BNF = 90^{\circ}[/tex3] como [tex3]NF \parallel AB\\

\frac{1}{BE^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{18}\\
BE^2 = 18 \therefore \boxed{\color{red}BE = 3\sqrt2}[/tex3]

*"E" ser altura, o ângulo em B é 90 porque o quadrilátero BMNF é cíclico e nele os ângulos opostos B e F são iguais
(Solução:Sousóeu - viewtopic.php?f=2&t=62964&p=168101&hili ... BC#p168101)

[geobson]

Se o círculo de 9 pontos passa pelos pontos médios dos lados e pés das alturas do triângulo , então já seria automático deduzir que B e pé de altura, já que M e N são pontos médios , não?
Por dedução lógica. basta 3 pontos dos 9 para determinar essa circu ferência? Assim se já sabe nos que ela ela passa pelos três pontos médios dos lados do triângulo, sabemos , obviamente, que , os pés das três alturas também passaram por ela

[FelipeMartinMOD]

geobson, sim. Como os segundos encontros dessa circunferência com os lados dos triângulos são os pé das alturas, vc pode concluir que o ponto B é pé de duas alturas; então tem um ângulo reto em B. Outra forma é ver que [tex3]\angle MEN = \angle ABC[/tex3] e usar o quadrilátero cíclico [tex3]MENB[/tex3]

[geobson]

FelipeMartin, ah sim.....beleza ..obrigado!