Cap. 14 - Relaciones Métricas en Triângulos Obtusângulos ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIV - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:24 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
24 - Calcular "x" em função de "R".

Resposta

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E) [tex3]\frac{R}{3}[/tex3] (Resposta errada do livro: A) [tex3]\frac{R}{6}[/tex3])

[petrasMOD]

[tex3]\triangle FOB: (R+r)^2 = R^2+(2R-2r)^2\\R^2+2Rr+r^2=R^2+4R^2-4Rr+4r^2\\6Rr-3r^2 = 4Rr\\6R-3r=4R \implies \boxed{r = \frac{2R}{3}}\\

T\cdot Descartes: \\

\(−\frac{1}{2R}+\frac{1}{R}+\frac{1}{\frac{2R}{3}}+\frac{1}{x}\)^2=2\(\frac{1}{4R^2}+\frac{1}{R^2}+\frac{1}{\(\frac{2R}{3}\)^2}+\frac{1}{x^2}\)\\
\implies \(\frac{2}{R}+\frac{1}{x}\)^2=\frac{7}{R^2}+\frac{2}{x^2}\\
\frac{4}{R^2}+\frac{4}{Rx}+\frac{1}{x^2}=\frac{7}{R^2}+\frac{2}{x^2}\\
\frac{3}{R^2}+\frac{1}{x^2}=\frac{4}{Rx}\implies 3x^2-4Rx+R^2 = 0
\therefore, \boxed{\color{red}x=\frac{R}{3}}

[/tex3]
(Solução MathLover)

Teorema de Descartes

Outra solução:

[tex3]\mathsf{CD=a, CG=b.

\text{A reta que conecta os centros de 2 círculos passam através do ponto de tangênca} \therefore EF=R+r\cdot \\

T. Pit:\\

△EBF→R^2+(2R−r)^2=(R+r)^2 \implies r = \frac{2R}{3}\\

△CBD→a^2+b^2=(2R−x)^2(I)\implies a^2+b^2-x^2 = 4R^2-4Rx(II)\\

△CFD→a^2+(R−b)^2=(R+x)^2\implies a^2+b^2 -x^2 = 2Rb+2Rx(III)\\

△CEG→b^2+(2R−r−a)^2=(r+x)^2\rightarrow a^2+b^2-x^2=-\frac{4}{3}(R^2-2Ra-Rx)(IV)}
\\
(II)e(III):b=2R−3x(V)\\
(II)e(IV):a=2R−2x(VI)\\
(V)e(VI)em(I)\implies(3x−R)(x−R)=0
\therefore \boxed{\color{red} x=\frac{ R}{3}}
[/tex3]
(Solução:ACB)