Ensino Superior ⇒ Verifique se os vetores são linearmente dependentes

[magben]

Verifique se os vetores [tex3]v_{1}[/tex3] e [tex3]v_{2}[/tex3] e [tex3]u_{1}[/tex3] e [tex3]u_{2}[/tex3] são linearmente dependentes pela definição e esboce seus gráficos no plano cartesiano

[tex3]v_{1}=\begin{pmatrix}
4 \\
6\end{pmatrix}[/tex3]; [tex3]v_{2}=\begin{pmatrix}
8 \\
9\end{pmatrix}[/tex3]; [tex3]u_{1}=\begin{pmatrix}
2 \\
3\end{pmatrix}[/tex3]; [tex3]u_{2}=\begin{pmatrix}
-1 \\
-3/2\end{pmatrix}[/tex3]

[Auto Excluído (ID: 23699)]

"vectores diz-se linearmente independente se nenhum dos seus elementos for combinação linear dos outros."
ou seja
v é linearmente dependente de u se v = ku
vamos para os dois v
veja que para o "4", se multiplicarmos por "2" teremos 8
mas multiplicando por 2, o 6 não vira 9
então v1 e v2 são linearmente independentes

para os u, veja que se você multiplicar por -2 o u2, você terá o u1
então u2 e u1 são linearmente dependentes

não ficou muito claro se ele quer para todos os pares
aí deveríamos fazer para
v1 v2
v1 u1
v1 u2
v2 u1
v2 u2
u1 u2
seguindo essa mesma ideia
o gráfico é só plotar os pontos e ligar na origem
por exemplo
o v1 é o vetor 4i + 6j
ou seja o ponto (4, 6)
mesma coisa para os outros

[AnthonyC]

Uma forma mais simples de verificar se um dado conjunto de vetores são linearmente independentes é verificando se a equação abaixo possuí apenas solução trivial (todos os coeficientes nulos):
[tex3]av_1+bv_2+cu_1+du_2=0[/tex3]
[tex3]a{4\choose 6}+b{8\choose 9}+c{2\choose 3}+d{-1\choose -{3\over2}}=\vec{0}[/tex3]
[tex3]{4a\choose 6a}+{8b\choose 9b}+{2c\choose 3c}+{-d\choose -{3d\over2}}={0\choose 0}[/tex3]
[tex3]{4a+8b+2c-d\choose 6a+9b+3c-{3d\over2}}={0\choose 0}[/tex3]
Por igualdade de vetores, temos:
[tex3]\begin{cases}4a+8b+2c-d=0\\
6a+9b+3c-{3d\over2}=0\end{cases}[/tex3]
Tratando [tex3]a[/tex3] e [tex3]c[/tex3] como variáveis livres, temos:
[tex3]\begin{cases}b=0\\
d=4a+2c\end{cases}[/tex3]
Escolhendo [tex3]a=c=1[/tex3], temos [tex3]d=6[/tex3]. Como há solução com coeficientes não nulos para o sistema, então os vetores não são linearmente independentes.