Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial: Pirâmide e Esfera

[Diego996]

O problema que eu criei é o seguinte:

Uma pirâmide, cuja base é um triângulo escaleno de lados [tex3]5, 6[/tex3] e [tex3]7[/tex3] centímetros, vai ser inscrita numa esfera. A altura dessa pirâmide é [tex3]6 \text{cm}[/tex3] e, ao traçá-la, com relação à base acima citada, ela coincide com o circuncentro do triângulo da base. Qual é o raio da esfera?

Solução:

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A imagem a seguir esquematiza a situação da questão:

AA58.png (45.89 KiB) Exibido 913 vezes

Assim, usando na base a lei dos cossenos:
[tex3]6^2=5^2+7^2-2 \cdot 5 \cdot 7 cos\alpha \Rightarrow cos\alpha = \frac{19}{35}[/tex3]

Pela relação fundamental da trigonometria:
[tex3]\text{sen}\alpha =\sqrt{1- \left( \frac{19}{35} \right)^2} \Rightarrow \text{sen}\alpha = \frac{12\sqrt6}{35}[/tex3]

Usando a lei dos senos:
[tex3]2r = \frac {6}{\frac {12\sqrt6}{35}}\Rightarrow r = \frac {35\sqrt6}{24}[/tex3]

Agora, no triângulo retângulo marcado em vermelho na imagem, pelo Teorema de Pitágoras:
[tex3]R^2 = (6-R)^2 + r^2 \Rightarrow R^2 = 36 - 12R + R^2 + \left( \frac{35\sqrt6}{24} \right)^2\\
12R = 36 + \frac {1225 \cdot 6}{576} \Rightarrow 12R = \frac {96 \cdot 36 + 1225}{96}\\
R = \frac {4681}{1152}[/tex3]

[Alexandre_SC]

Bem bolada!
Eu procurei circunscrever o triângulo de base [tex3]2r[/tex3] e altura [tex3]6,[/tex3] mas eu cometo muitos erros de metemática básica!