Ensino Superior ⇒ Geometria espacial Tópico resolvido

[medici]

Prove que se uma reta é paralela a dois planos secantes, então ela é paralela à reta de intersecção dos dois planos.

[petrasMOD]

@medici,
Sejam:[tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] dois planos secantes (que se cruzam).
i a reta de interseção entre eles [tex3](i = \alpha \cap \beta)[/tex3].
r uma reta tal que [tex3] r \parallel \alpha~ e~r \parallel \beta[/tex3].

Como [tex3]r \parallel \alpha[/tex3], existe no plano [tex3]\alpha[/tex3] uma reta s tal que [tex3]r \parallel s[/tex3].
Como [tex3]r \parallel \beta[/tex3], existe no plano [tex3] \beta[/tex3] uma reta t tal que [tex3]r \parallel t[/tex3].
Pela propriedade de transitividade do paralelismo: se [tex3]s \parallel r[/tex3] e[tex3] t \parallel r[/tex3], então [tex3]s \parallel t[/tex3].
As retas s (em [tex3]\alpha[/tex3]) e t (em [tex3] \beta[/tex3]) são paralelas entre si, elas definem um plano.Contudo, a reta i é a única reta que pertence simultaneamente a [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3].
Pelo teorema das retas paralelas, se uma reta r é paralela a um plano [tex3]\alpha[/tex3], ela é paralela a alguma reta desse plano.Se r fosse concorrente (cruzasse) com a interseção i, ela teria que cruzar um dos planos, o que contradiz a hipótese de que ela é paralela a ambos.
Se a reta r não tem pontos comuns com o plano [tex3]\alpha [/tex3] e nem com o plano [tex3]\beta,[/tex3] ela certamente não pode ter pontos comuns com a reta i (pois i está contida em ambos os planos).Como r, s e t são todas paralelas entre si e i é a reta "guia" da inclinação desses planos onde eles se tocam, a reta r deve manter a mesma direção de i. Portanto:[tex3]r \parallel i[/tex3]