Ensino Médio ⇒ N° de zeros de um número fatorial numa base diferente de 10 Tópico resolvido

[MatheusCNIME]

Qual é o número de zeros do produto 1x2x3...x216 (base 10), ao ser expresso na base 28?

Resposta

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34

[careca]

Quando a gente passa um número pra outra base, geralmente usamos o método da divisão. Isto é, fazemos a divisão e analisamos o resto. Como 28 é 7.4 , podemos analisar quantos termos 7 e quantos termos 4 aparecem no 216!

Ok, mas é evidente que há bem mais números 4 do que números 7, então vamos analisar quantos termos 7 vão aparecer. Que essa quantidade vai ser o número de zeros na transformação da base 7 para a base 28

Daí, você pode usar aquela fórmula de Legendre ( acho que é esse o nome, rs ) Mas, podemos fazer só pela análise do problema mesmo:

Se você dividir 216/7 vai observar que o último múltiplo de 7 mais próximo de 216 é o 210 ( 7.30 )

Então há os termos: [tex3](7.1 , 7.2,7.3,7.4,7.5,(...),7.30 )[/tex3]

Então existiriam apenas por esses termos 7 iniciais 30 termos, mas devemos considerar o caso em que o segundo fator é 7. O que vai acontecer 4 vezes ( 7.7 ; 7.14 ; 7.21 e 7.28 )

Então há 34 fatores 7 em 216!, portanto, [tex3]{\color{red}34 }[/tex3] zeros