Ensino Superior ⇒ Aplicação da derivada - Manejo Florestal

[magben]

Se o raio superior do tronco é R, o raio inferior é r e a altura é H, então o volume de
madeira pode ser dado por

[tex3]V=\frac{\pi}{3}H(R^2+rR+r^2)[/tex3]

De acordo com informações dadas por um grupo de engenheiros
florestais especialistas em manejo, durante um certo período de
tempo as taxas de aumento de r, R e H de uma certa espécie de
árvore nativa são constantes e dadas, respectivamente, por
10 cm/ano, 12,5 cm/ano e 22,5cm/ ano.

(a) Qual a taxa de variação do volume V em relação ao tempo t? (dv/dt)

Qual a taxa de aumento do volume V no instante em que r = 60 cm, R = 90 cm e H = 4,5m?

[AnthonyC]

Sabemos da Regra da Cadeia que, se [tex3]z=f(y)[/tex3] e [tex3]y=f(x)[/tex3], então:
[tex3]{dz\over dx }={dz\over dy}\cdot {dy\over dx}[/tex3]
Temos que [tex3]V=f(R,r,h)[/tex3] e [tex3]R,r,H=f(t)[/tex3], logo:
[tex3]{dV\over dt}={d\over dt}\(\frac{\pi}{3}H(R^2+rR+r^2)\)[/tex3]
[tex3]{dV\over dt}=\frac{\pi}{3}{d\over dt}\(H(R^2+rR+r^2)\)[/tex3]
Pela Regra do Produto:
[tex3]{dV\over dt}=\frac{\pi}{3}\[{dH\over dt}\cdot (R^2+rR+r^2)+H\cdot {d\over dt}(R^2+rR+r^2)\][/tex3]
[tex3]{dV\over dt}=\frac{\pi}{3}\[{dH\over dt}\cdot (R^2+rR+r^2)+H\(2R^2{dR\over dt}+{dr\over dt}R+r{dR\over dt}+2r{dr\over dt}\)\][/tex3]
Pelo enunciado, temos que [tex3]{dr\over dt}=10~{ \text{cm}\over \text{ano}}[/tex3], [tex3]{dR\over dt}=12,5~{ \text{cm}\over \text{ano}}[/tex3] e [tex3]{dH\over dt}=22,5~{\text{cm}\over \text{ano}}[/tex3]. Logo:
[tex3]{dV\over dt}=\frac{\pi}{3}\[22,5 (R^2+rR+r^2)+H\(25R+10R+12,5\cdot r+20r\)\][/tex3]
[tex3]{dV\over dt}=\frac{\pi}{3}\[22,5 (R^2+rR+r^2)+H\(35R+32,5\cdot r\)\][/tex3]
Para calcular o o aumento no volume, basta substituir os dados na fórmula acima. É necessário apenas mudar a unidade de [tex3]H[/tex3] para centímetros:
[tex3]{dV\over dt}=\frac{\pi}{3}\[22,5 (90^2+60\cdot 90+60^2)+450\(35\cdot 90+32,5\cdot 60\)\][/tex3]
[tex3]{dV\over dt}=1,9\cdot 10^6~ {\text{cm}^3\over \text{ano}}[/tex3]
[tex3]{dV\over dt}=1,9~ {\text{m}^3\over \text{ano}}[/tex3]