Cap. 17 - Polígonos Regulares: Potencia e Eje Radical ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:14 Tópico resolvido

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Problema Proposto
14 - No quadrilátero inscritível ABCD, os
ângulos BDA e ACD medem 17 e 19 respectivamente;
se a medida da diagonal BD é [tex3]\sqrt{10+2\sqrt{5}}[/tex3].
Calcular a medida do raio da circunferência circunscrita ao quadrilátero

Resposta

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D) [tex3]\sqrt{5}+1[/tex3]

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[tex3]\mathsf{ABCD ~é~inscritível \implies \angle BCA = 17^o \therefore \angle DOB =72^o\\\triangle DOB( elemental) \implies BD = \frac{R}{2}(\sqrt{10-2\sqrt5}) \\\therefore \sqrt{10+2\sqrt5} = \frac{R}{2}(\sqrt{10-2\sqrt5}) \implies 10+2\sqrt5 = \frac{R^2}{4}(10-2\sqrt5)\\
\frac{R^2}{4} =\frac{10+2\sqrt5}{10-2\sqrt5 }=\frac{120+40\sqrt5}{80}\implies R =\sqrt{ 6+2\sqrt5}\\
\therefore R={\sqrt\frac{6+4}{2}}+\sqrt{\frac{6-4}{2}}=\boxed{\color{red}\sqrt5+1}}[/tex3]