Ensino Superior ⇒ região limitada

[Zaraki]

Qual é a integral que fornece o volume do sólido de revolução, obtida pela rotação da região
limitada por [tex3]x = 0[/tex3],[tex3]y= x^2 + x[/tex3] e [tex3]y=x^2 -1[/tex3], em torno da reta y =1:

[AnthonyC]

Primeiro, façamos o gráfico da região:

areadeintegral-3.png (37.48 KiB) Exibido 670 vezes

Precisamos encontrar o raio [tex3]R[/tex3], perceba que ele sai da reta [tex3]y=1[/tex3] e vai até [tex3]x^2-1[/tex3], portanto [tex3]R=x^2-1-1=x^2-2[/tex3]. Porém, precisamos descontar a parcela do sólido formado pela revolução da região entre [tex3]1[/tex3] e [tex3]x^2+x[/tex3]. Podemos ver que o raio dessa região é [tex3]r=x^2+x-1[/tex3]. Por último, vemos que nossa região vai de [tex3]x=-1[/tex3] até [tex3]x=0[/tex3], logo:
[tex3]V=\int_{-1}^0\pi(R^2-r^2)dx[/tex3]
[tex3]V=\int_{-1}^0\pi\((x^2-2)^2-(x^2+x-1)^2\)dx[/tex3]