Ensino Superior ⇒ Definição formal de limite Tópico resolvido

[magben]

Prove a seguinte sequência utilizando a definição formal de limite

[tex3]\left(\frac{2n^2}{5n^2+1}\right);L=\frac{2}{5}[/tex3]

[AnthonyC]

Rascunho:

[tex3]\left|{2n^2\over 5n^2+1}-{2\over 5}\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left|{10n^2\over 5(5n^2+1)}-{2(5n^2+1)\over 5(5n^2+1)}\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left|{10n^2\over 5(5n^2+1)}-{10n^2+5\over 5(5n^2+1)}\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left|{-5\over 5(5n^2+1)}\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left|{-1\over 5n^2+1}\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]{1\over 5n^2+1}<\varepsilon [/tex3]
[tex3]{5n^2+1}>{1\over \varepsilon} [/tex3]
[tex3]{5n^2}>{1\over \varepsilon}-1 [/tex3]
[tex3]{n}>\sqrt{{1\over 5\varepsilon}-{1\over5} }[/tex3]

Assim, uma possível escolha para [tex3]N[/tex3] é [tex3]N=\sqrt{{1\over 5\varepsilon}-{1\over5} }[/tex3]

Demonstração:

Seja [tex3]\varepsilon>0[/tex3]. Tomemos [tex3]N=\sqrt{{1\over 5\varepsilon}-{1\over5} }[/tex3]. Se [tex3]n>N[/tex3], então:
[tex3]{n}>N[/tex3]
[tex3]{n}>\sqrt{{1\over 5\varepsilon}-{1\over5} }[/tex3]
[tex3]{5n^2}>{1\over \varepsilon}-1 [/tex3]
[tex3]{5n^2+1}>{1\over \varepsilon} [/tex3]
[tex3]{1\over 5n^2+1}<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left|{-1\over 5n^2+1}\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left|{-5\over 5(5n^2+1)}\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left|{10n^2\over 5(5n^2+1)}-{10n^2+5\over 5(5n^2+1)}\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left|{10n^2\over 5(5n^2+1)}-{2(5n^2+1)\over 5(5n^2+1)}\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left|{2n^2\over 5n^2+1}-{2\over 5}\right|<\varepsilon [/tex3]
Como [tex3]n>N\implies \left|{2n^2\over 5n^2+1}-{2\over 5}\right|<\varepsilon [/tex3], então [tex3]\lim_{n\rightarrow \infty }{2n^2\over 5n^2+1}={2\over5}[/tex3].