Cap. 17 - Polígonos Regulares: Potencia e Eje Radical ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:40 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
40 - Calcular a potência do centro radical das tres
circunferências mostradas, com relação a uma delas.

Resposta

---

-[tex3]\frac{2}{3}[/tex3]R²

[FelipeMartinMOD]

Seja [tex3]D[/tex3] o segundo encontro das circunferências [tex3]\gamma_A = \odot(A,AC)[/tex3] (centro [tex3]A[/tex3] e raio [tex3]AC[/tex3]) e [tex3]\gamma_B = \odot (B,BC)[/tex3].

Note que a reta [tex3]CD[/tex3] é mediatriz de [tex3]AB[/tex3] e que ela também é o eixo radical entre [tex3]\gamma_A[/tex3] e [tex3]\gamma_B[/tex3]. Analogamente, os outros eixos radicais (entre [tex3]\gamma_C = \odot(C,CA)[/tex3] e [tex3]\gamma_B[/tex3], e [tex3]\gamma_C[/tex3] e [tex3]\gamma_A[/tex3]) também são mediatrizes dos lados do [tex3]\triangle ABC[/tex3].

Portanto, o centro radical entre os três círculos é o circuncentro do triângulo equilátero [tex3]\triangle ABC[/tex3]. Basta usar a fórmula de potência para esse ponto, que chamaremos [tex3]O[/tex3].

[tex3]Pot_O = R^2 - OA^2 = R^2 - (\frac 23 \cdot R \cdot \frac{\sqrt3}2)^2 = \frac23 R^2[/tex3]

O sinal negativo apenas indica que o centro radical está no interior dos círculos.