Pré-Vestibular ⇒ (UFPR - 2021) Geometria Espacial Tópico resolvido

[MORANGA]

Considere o cubo de aresta [tex3]2\ cm[/tex3] na figura abaixo, em que os pontos [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] são vértices do cubo e [tex3]N[/tex3] é o centro de uma das faces. Duas partículas [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] se deslocam sobre a superfície do cubo, percorrendo o caminho mais curto possível. A partícula [tex3]A[/tex3] inicia sua trajetória em [tex3]P[/tex3] e encerra em [tex3]Q[/tex3], e a partícula [tex3]B[/tex3] vai do ponto [tex3]P[/tex3] ao ponto [tex3]N[/tex3] e em seguida ao ponto [tex3]Q[/tex3]. Qual é a diferença em módulo, em [tex3]cm[/tex3], entre as distâncias percorridas pelas duas partículas?

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a) [tex3]6 + \sqrt2 - \sqrt5[/tex3].
b) [tex3]2 + 2\sqrt2 - 2\sqrt5[/tex3].
c) [tex3]4 + \sqrt2[/tex3].
d) [tex3]4 + 2\sqrt2[/tex3].
e) [tex3]\sqrt2 + \sqrt{10} - 2\sqrt5[/tex3]

Resposta

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resposta : √2 +√10 - 2√5.

[lookez]

Basta planificar o cubo e ligar os pontos, como a menor distância entre dois pontos é uma reta. Você consegue todas essas distâncias usando pitágoras.

[tex3]\overline{PQ}^2=\overline{CP}^2+\overline{CQ}^2\rightarrow\overline{PQ}=2\sqrt5[/tex3]
[tex3]\overline{PN}^2=\overline{PA}^2+\overline{NA}^2\rightarrow\overline{PN}=\sqrt2[/tex3]
[tex3]\overline{QN}^2=\overline{NB}^2+\overline{QB}^2\rightarrow\overline{QN}=\sqrt{10}[/tex3]

Trajetória partícula A: [tex3]\overline{PQ}=2\sqrt5[/tex3]
Trajetória partícula B: [tex3]\overline{PN}+\overline{QN}=\sqrt2+\sqrt{10}[/tex3]

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