Cap. 18 - Areas de Regiones Triangulares ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:03 Tópico resolvido

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Problema Proposto
3 - Os catetos de um triângulo retângulo medem
7 e 24 m. Calcular a área do triângulo
cujos vértices são o ortocentro, o circuncentro
e o incentro do triângulo retângulo.

Resposta

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B) 12,75m²

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Solução:

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Teorema de Pitágoras no [tex3]\Delta ABC[/tex3]: [tex3]AC=\sqrt{7^2+24^2} \ \ \therefore \ \ \boxed{AC=25}[/tex3]

Aplicando o Teorema (ver anexo abaixo) com [tex3]p=28[/tex3]: [tex3]BI=\sqrt{\frac{7\cdot24\cdot(28-25)}{28}} \ \ \therefore \ \ \boxed{BI=3\sqrt2}[/tex3]

Como o problema é de um livro peruano, o triângulo retângulo do problema é o "notável" [tex3]7k,24k,25k[/tex3] cujos ângulos (aproximados) são [tex3]16^{\circ},74^{\circ}, 90^{\circ}[/tex3], daí vem que [tex3]\angle OCB=\angle OBC=16^{\circ}[/tex3] e como [tex3]I[/tex3] é incentro [tex3]\angle CBI=45^{\circ}[/tex3].

Seno do ângulo [tex3]\theta[/tex3]:
[tex3]\sen\theta=\sen(45^{\circ}-16^{\circ})\\
\\\sen\theta=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{24}{25}-\frac{7}{25}\cdot\frac{\sqrt2}{2} \ \ \therefore \ \ \boxed{\sen\theta=\frac{17\sqrt2}{50}}[/tex3]

Área do [tex3]\Delta OBI[/tex3] [tex3]\left(OB=OC=OA=\frac{25}{2}\right)[/tex3]:
[tex3][OBI]=\frac{1}{2}\cdot3\sqrt2\cdot\frac{25}{2}\cdot\frac{17\sqrt2}{50}\\
[OBI]=\frac{51}{4} \ \ \therefore \ \ \boxed{\boxed{[OBI]=12,75 \ m^2}}[/tex3]

TEOREMA.png (33.67 KiB) Exibido 1825 vezes

att>>rodBR